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@ -7,6 +7,7 @@
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"cSpell.words": [
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"Artin",
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"Assoziativitätsformel",
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"Bifunktors",
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"Bifunktoren",
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"Binomialpolynom",
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"Binomialpolynome",
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@ -125,7 +125,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
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Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
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Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
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Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
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Ist $k$ der Grad von $P_f$, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$.
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Ist $k$ der Grad von $P_f$, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_l(f)$ anstatt von $e_l(P_f)$.
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\end{defn}
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@ -147,7 +147,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
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\begin{equation*}
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\Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0
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\end{equation*}
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Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(n) + e_0$ für $z$ groß genug.
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Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(z) + e_0$ für $z$ groß genug.
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Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$.
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Die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) folgt durch Induktion über $r$ und Verwendung der Implikation (b) $\Rightarrow$ (a).
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@ -168,7 +168,7 @@ Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es
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Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
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$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
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Nun gilt aber $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul.
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Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge_{n+1}})$, also haben wir folgende Surjektion:
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Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1})$, also haben wir folgende Surjektion:
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\begin{equation*}
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H_0 \cong H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \twoheadrightarrow H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) \cong H/\Ann(M_n).
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\end{equation*}
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@ -192,7 +192,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
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Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-\infty < -1$.
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Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde.
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Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$.
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Seien $N$ der Kern und $R$ der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$.
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Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die folgenden exakten Sequenzen:
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\begin{equation*}
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0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
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@ -272,7 +272,7 @@ wohldefiniert.
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\begin{equation*}
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\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
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\end{equation*}
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ein graduierte $H$-Modul.
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ein graduierter $H$-Modul.
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Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
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\begin{equation*}
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M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
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@ -527,6 +527,6 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
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\label{thm:dim-gleich-d-gleich-s}
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Es gilt $\dim(M) = d(M) = s(M)$.
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\begin{proof}
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Dies folgt aus {}\cref{lem:d-kleinergleich-s,lem:dim-kleinergleich-d,lem:s-kleinergleich-dim}.
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Dies folgt aus den {}\cref{lem:d-kleinergleich-s,lem:dim-kleinergleich-d,lem:s-kleinergleich-dim}.
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\end{proof}
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\end{thm}
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@ -272,7 +272,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
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\phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
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\end{equation*}
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Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ liefern dann jeweils beide die Abbildung:
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Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ induzieren dann jeweils beide die Abbildung:
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\begin{align*}
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d\colon M^{\binom{r}{p}} &\to M^{\binom{r}{p - 1}} \\
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(0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, i_{j - 1}, \widehat{i_{j}}, i_{j + 1}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0)
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@ -288,9 +288,9 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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\begin{prop}
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\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
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Wenn $\bmx$ zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
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Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine $M$-reguläre Folge, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
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\begin{proof}
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Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
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Für $r = 1$ ist die Behauptung richtig, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
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Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$.
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Es gilt
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@ -429,9 +429,9 @@ Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\l
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\begin{equation*}
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P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n),
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\end{equation*}
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wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist.
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wobei $Q$ ein Polynom in $\Q[X]$ vom Grad $< r$ ist.
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Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M, r)$ miteinander vergleichen.
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Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M, r)$ übereinstimmen.
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\begin{thm}
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\label{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}
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@ -541,7 +541,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
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\end{aligned}
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\end{align}
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-9} Wenn $i$ große genug ist, können wir \cref{eq:euler-poincare-charakteristik} zu folgender Gleichung umschreiben:
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-9} Wenn $i$ groß genug ist, können wir \cref{eq:euler-poincare-charakteristik} zu folgender Gleichung umschreiben:
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\begin{equation*}
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\chi(\bmx, M) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p} P_{\bmx}(M, i - p).
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\end{equation*}
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@ -18,14 +18,14 @@ Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
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\begin{equation*}
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Z = \sum_{\mfp \in \Spec(A)} n(\mfp) \mfp
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\end{equation*}
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mit $n(\mfp) > 0$ für alle $\mfp \in \Spec(A)$ ist.
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mit $n(\mfp) \ge 0$ für alle $\mfp \in \Spec(A)$ ist.
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\end{defn}
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\begin{defn}
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\label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings-der-dimension}
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
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Für alle $p \in \N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
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Wir nennen $\Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ der Dimension $p$.
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Wir nennen $Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ der Dimension $p$.
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Offensichtlich gilt $Z(A) = \bigoplus_{p = 0}^n Z_p(A)$.
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\end{defn}
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@ -104,6 +104,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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z_p \colon K_p(A) &\to Z_p(A) \\
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M & \mapsto \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) \mfq
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\end{align*}
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Diese Funktion ist wohldefiniert, denn es gibt nur endlich viele Primideale $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ und $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) \neq 0$.
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Wir nennen $z_p(M)$ den zu $M$ gehörigen \textbf{Zykel} der Dimension $p$.
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Da die Länge von $A$-Moduln additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist, ist es auch die Funktion $z_p$.
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Ist $M \in K_{p - 1}(A)$ und $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$, so gilt $\mfq \notin \Supp(M)$, da $\dim(M) < p$.
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@ -148,7 +149,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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e_\mfa(M_s, p) = \sum_{i = 1}^s e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p)
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\end{equation*}
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gilt.
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Wegen $M_1 = M_1 / M_0$ haben wir im Fall $s = 1$
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Wegen $M_1 = M_1 / M_0$ haben wir im Fall $s = 1$ die Gleichung
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\begin{equation*}
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e_\mfa(M_1, p) = e_\mfa(M_1 / M_0, p) = \sum_{i = 1}^1 e_\mfa(M_i / M_{i - 1}, p).
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\end{equation*}
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@ -208,14 +209,14 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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Sei $A$ ein Ring und $\mfp$ ein minimales Primideal von $A$.
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Dann sind alle Elemente von $\mfp$ Nullteiler in $A$.
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\begin{proof}
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Ist $R = 0$, so ist die Aussage trivial, sei also im Folgenden $R \neq 0$.
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Ist $A = 0$, so ist die Aussage trivial, sei also im Folgenden $A \neq 0$.
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Ist $B \subset A$, so bezeichnen wir das Komplement von $B$ in $A$ mit $\overline{B}$.
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Sei $\mcZ(A)$ die Menge der Nullteiler von $A$ und sei $S$ die multiplikative Menge $\overline{\mfp} \cdot \overline{\mcZ(A)}$.
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Es gilt $0 \notin S$, denn sonst wäre $0 = ab$ mit $a \in \overline{\mfp}$ und $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
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Dann gilt aber $b \in \mcZ(A)$ im Widerspruch zu $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
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Demnach gilt $R_S \neq 0$ und es gibt ein Primideal $\mfq'$ von $R_S$.
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Dieses entspricht einem Primideal $\mfq$ von $R$ mit $\mfq \cap S = \emptyset$, also $\mfq \subset \overline{S}$.
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Wegen $R \neq 0$ gilt $1 \notin \mcZ(A)$ und da $\mfp$ prim ist, gilt $1 \notin \mfp$.
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Demnach gilt $A_S \neq 0$ und es gibt ein Primideal $\mfq'$ von $A_S$.
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Dieses entspricht einem Primideal $\mfq$ von $A$ mit $\mfq \cap S = \emptyset$, also $\mfq \subset \overline{S}$.
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Wegen $A \neq 0$ gilt $1 \notin \mcZ(A)$ und da $\mfp$ prim ist, gilt $1 \notin \mfp$.
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Es folgt $S \supset \overline{\mfp} \cup \overline{\mcZ(A)}$ und damit $\overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A)$.
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Insgesamt erhalten wir also
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\begin{equation*}
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@ -272,7 +273,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, ist also $K' \otimes_k K''$ frei über $L' \otimes_k L''$.
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Insbesondere ist $K' \otimes_k K''$ ein torsionsfreier $B' \otimes_k B''$-Modul.
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Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$.
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Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$.
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Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, ist $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$.
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Demnach gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
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Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei.
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Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$.
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@ -308,7 +309,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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&= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i - 1 \otimes a_i b_i \\
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&= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i
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\end{align*}
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||||
Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $1- a_i \otimes a_i - 1$ erzeugten Ideal enthalten.
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||||
Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $1 \otimes a_i - a_i \otimes 1$ erzeugten Ideal enthalten.
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||||
\item Sind $a' \in \mfp'$ und $a'' \in \mfp''$, so gilt \begin{equation*}
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\phi(a' \otimes 1 + 1 \otimes a'') = \phi(a' \otimes 1) + \phi(1 \otimes a'') = a' + a''.
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\end{equation*}
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||||
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@ -388,11 +389,11 @@ ist.
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Sei außerdem $\mfd'$ das Bild von $\mfd$ in $A / \mfp \otimes_k A / \mfq$.
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Dann sind
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||||
\begin{equation*}
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||||
A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong A / (\mfp + \mfp)
|
||||
A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong A / (\mfp + \mfq)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und
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||||
\begin{equation*}
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||||
(A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) / \mfd'
|
||||
(A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) / \mfd'
|
||||
\end{equation*}
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||||
jeweils die Koordinatenringe von $U \cap V$ und $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$.
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||||
Die obige Aussage übersetzt sich dann auf folgende Weise in algebraische Sprache:
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||||
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@ -400,7 +401,7 @@ Die obige Aussage übersetzt sich dann auf folgende Weise in algebraische Sprach
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(A \otimes_k A) / \mfd \cong A
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||||
\end{equation}
|
||||
\begin{equation}
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||||
A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfp) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd
|
||||
A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd
|
||||
\end{equation}
|
||||
Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Ideal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
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||||
Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
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||||
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@ -416,7 +417,7 @@ eine $B$-projektive Auflösung, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen
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|||
\begin{equation*}
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\Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i - 1 \otimes 1 - X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich ist $\bmX = {(X_i - 1 \otimes 1 - X_i)}_{i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace}$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt
|
||||
Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich ist $\bmX = {(X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i)}_{i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace}$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt
|
||||
\begin{equation*}
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||||
H^B_0(\bmX, B) = B / \mfd \cong A.
|
||||
\end{equation*}
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||||
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@ -435,11 +436,11 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf \emph{vervollständigte Tensorp
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\begin{defn}[Vervollständigtes Tensorprodukt]
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\label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt}
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||||
Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
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||||
Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
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||||
Sei $\mfm$ (beziehungsweise $\mfn$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ (beziehungsweise $B/\mfn$) ein $k$-Modul von endlicher Länge ist.
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||||
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
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||||
Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
|
||||
Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
|
||||
Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
|
||||
Demnach sind sie von endlicher Länge über $k$ und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
|
||||
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||||
Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\BTor$-Funktoren} durch
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\begin{equation}
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@ -451,12 +452,12 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf \emph{vervollständigte Tensorp
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\end{equation}
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\end{defn}
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Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
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\begin{prop}
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\label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
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Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
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Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
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||||
Sei $\mfm$ (beziehungsweise $\mfn$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ (beziehungsweise $B/\mfn$) ein $k$-Modul von endlicher Länge ist.
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||||
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item Es gilt
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@ -627,10 +628,10 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\end{equation*}
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\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollständigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
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||||
Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ voll ständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist.
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Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist.
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Es gilt also auch
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\begin{equation*}
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(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
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(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes_k B) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
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\cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
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\end{equation*}
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und
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@ -711,13 +712,13 @@ Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische
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\begin{equation*}
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\mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
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\end{equation*}
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||||
Sei nun $C = k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ der formale Potenzreihenring in $2n$ Variablen.
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||||
Sei nun $C = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ der formale Potenzreihenring in $2n$ Variablen.
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Dann haben wir eine Einbettung
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\begin{align*}
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\phi \colon A \otimes_k B &\to C\\
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f \otimes g & \mapsto fg
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\end{align*}
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(siehe {}\cite[Proposition~3.1]{bardavid11aneffective}) und das Bild von $\mfr$ unter dieser Einbettung ist offensichtlich $(X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$.
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||||
(siehe {}\cite[Proposition~3.1]{bardavid11aneffective}) und das Bild von $\mfr$ unter dieser Einbettung ist offensichtlich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$.
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||||
Desweiteren gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subset B$ und da Polynomringe und formale Potenzreihenringe flach sind, haben wir eine Injektion
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\begin{equation*}
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k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] \hookrightarrow A \otimes_k B \hookrightarrow C,
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@ -728,15 +729,15 @@ die offenbar dem Morphismus
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f \otimes g & \mapsto fg
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\end{align*}
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entspricht.
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Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
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||||
Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$ bezüglich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$, also folgt bereits
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||||
Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
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||||
Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$ bezüglich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$, also folgt bereits
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||||
\begin{equation*}
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A \widehat{\otimes}_k B \cong C.
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\end{equation*}
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\begin{prop}
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\label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring}
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||||
Es sei $k$ ein Körper und $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$. Sei außerdem $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$ und $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
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||||
Es sei $k$ ein Körper und $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$. Sei außerdem $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$ und $C$ der formale Potenzreihenring $k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
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||||
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
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Dann gilt
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\begin{equation}
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@ -871,7 +872,7 @@ $A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N =
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\end{equation*}
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wobei $\mfm$ das Maximalideal von $A$ ist, denn $M \otimes_A N \cong A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge, also sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente von $\Supp(M \otimes_A N)$ maximale Ideale.
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||||
Also ist $\mfm$ das eindeutige minimale Primideal von $\Supp(M \otimes_A N)$.
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||||
Wegen $\dim(X) \ge \dim(A)$ können wir auch tatsächlich bin $\dim(X)$ summieren.
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Wegen $\dim(X) \ge \dim(A)$ können wir auch tatsächlich bis $\dim(X)$ summieren.
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Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also auch
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\begin{equation*}
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@ -887,12 +888,12 @@ Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, da
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\begin{thm}\leavevmode
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\label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
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||||
\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
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||||
\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = 0$.
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||||
\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
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\end{enumerate}
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\end{thm}
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Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \enquote{Schnittmultiplizität} erfüllt.
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Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \emph{Schnittmultiplizität} erfüllt.
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\section{Zykel auf einer nicht singulären affinen Varietät}
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\label{sec:zykel-auf-einer-nicht-singulaeren-affinen-varietaet}
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@ -908,7 +909,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
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Seien $a, b \in \N$, $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$ zwei Zykel die sich eigentlich schneiden, das heißt für jedes minimale Primideal $\mfr$ in $\Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)$ gilt $\dim(A/\mfr) = c = a + b - \dim(X)$.
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Dann definieren wir das \textbf{Schnittprodukt} von $\alpha$ und $\beta$ durch
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\begin{equation*}
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\alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A).
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||||
\alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \left(\sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A)\right).
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\end{equation*}
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\end{defn}
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@ -917,7 +918,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
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|||
Seien $a, b, c \in \N$ mit $a + b = n + c$. Seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln mit $\dim(M) \le a$, $\dim(N) \le b$ und $\dim(M \otimes_A N) \le c$.
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Die Zykel $z_a(M)$ und $z_b(N)$ schneiden sich eigentlich und der Schnittzykel
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\begin{equation*}
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||||
z_a(M) \cdot z_b(N) = \sum_{\substack{\dim(A / \mfp) = a \\ \dim(A / \mfq) = b}} \length_{A_\mfp}(M_\mfp) \length_{A_\mfq}(N_\mfq) \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp \otimes_A A / \mfq)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_\mfr, {(A / \mfq)}_\mfr) \mfr
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||||
z_a(M) \cdot z_b(N) = \sum_{\substack{\dim(A / \mfp) = a \\ \dim(A / \mfq) = b}} \length_{A_\mfp}(M_\mfp) \length_{A_\mfq}(N_\mfq) \left(\sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp \otimes_A A / \mfq)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_\mfr, {(A / \mfq)}_\mfr) \mfr\right)
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||||
\end{equation*}
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stimmt mit dem Zykel
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\begin{equation*}
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@ -940,9 +941,9 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
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\begin{bem}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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||||
\item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen:
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||||
Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
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||||
Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}.
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||||
\item \cref{prop:schnitt-zykel} liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen:
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||||
Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension $c$ hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
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||||
Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der Zykel $z_c(\Tor^A(M, N))$.
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\item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind.
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||||
In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ der Kodimension $p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
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||||
Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$.
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@ -953,7 +954,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
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\section{Eigenschaften des Schnittprodukts}
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\label{sec:eigenschaften-des-schnittprodukts}
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In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass das Schnittprodukt aus \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} die Fundamentalen Eigenschaften der Schnitttheorie erfüllt.
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||||
In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass das Schnittprodukt aus \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} die fundamentalen Eigenschaften der Schnitttheorie erfüllt.
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||||
Da diese Eigenschaften alle lokal sind, können wir annehmen, dass die Varietäten affin und nicht singulär sind.
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Dies ermöglicht es uns \cref{prop:schnitt-zykel} anzuwenden.
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@ -979,6 +980,10 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
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\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\
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||||
\Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz}
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||||
\end{align}
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||||
Dabei ist $\Tor^A_n(\bullet, M', \bullet)$ der $n$-te linksabgeleitete Funktor des Bifunktors
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\begin{equation*}
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(M, M'') \mapsto T_{M'}(M, M'') \coloneqq M \otimes_A(M' \otimes_A M'') = (M \otimes_A M') \otimes_A M''.
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\end{equation*}
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Sei $c = a + a' + a'' - 2n$ und $b = a' + a'' - n$.
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Da die Schnitte eigentlich sind, gilt $\dim(M' \otimes_A M'') \le b$ und $\dim(M \otimes_A M' \otimes_A M'') \le c$.
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Demnach sind die folgenden Zykel wohldefiniert:
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@ -1013,7 +1018,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
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Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
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||||
Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
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||||
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assoziierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
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Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth-Formel}:
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Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \emph{Künneth-Formel}:
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\begin{equation*}
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||||
\Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
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\end{equation*}
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@ -1030,7 +1035,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
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\begin{equation*}
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\Tor^A_i(M_1, M_2) = \Tor^B_i(M_1 \otimes_k M_2, A).
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\end{equation*}
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\cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt} folgt dann durch Bilden der alternierenden Summe der Zykel auf beiden seiten der obigen Gleichung.
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Die \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt} folgt dann durch Bilden der alternierenden Summe der Zykel auf beiden Seiten der obigen Gleichung.
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\end{description}
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Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zeigen.
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@ -1057,14 +1062,14 @@ Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ze
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\label{sec:Ausblick}
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Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zu beweisen.
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Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt.
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||||
Als wesentlichen Schritt dazu haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt.
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Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt.
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Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~2]{serre2000local}).
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Die zweite Aussage des Theorems (die \enquote{Dimensionsformel}) wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
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Die zweite Aussage des Theorems (die \emph{Dimensionsformel}) wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
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Die erste Aussage des Theorems (die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$) wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
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Die erste Aussage des Theorems (die Nichtnegativität von $\chi(M, N)$) wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
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Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
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Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
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@ -1,8 +1,8 @@
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\chapter{Einleitung}
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\label{cha:einleitung}
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Die Schnittmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
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Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Beispiel {}\cite{fulton1998intersection}).
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Die Schnittmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \emph{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
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Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \emph{$\ITor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Beispiel {}\cite{fulton1998intersection}).
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Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
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Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
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@ -25,7 +25,7 @@ In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden.
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Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt.
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Die \emph{Reduktion auf die Diagonale} stellt für fast alle folgenden Ergebnisse ein sehr wichtiges Prinzip dar, deswegen wird sie beispielhaft im Fall affiner irreduzibler Varietäten erläutert.
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Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \enquote{Dimensionsformel} der algebraischen Geometrie gezeigt: Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten eines affinen Raums und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, so gilt
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Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \emph{Dimensionsformel} der algebraischen Geometrie gezeigt: Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten eines affinen Raums und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, so gilt
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\begin{equation*}
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\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
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\end{equation*}
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@ -46,6 +46,7 @@
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\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
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\DeclareMathOperator{\BTor}{\mathbf{Tor}}
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\DeclareMathOperator{\ITor}{\mathit{Tor}}
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\DeclareMathOperator{\pplus}{\phantom{+}}
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\DeclareMathOperator{\poplus}{\phantom{\oplus}}
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