Weitere Korrekturen
This commit is contained in:
parent
5b0f6b0374
commit
a697a0c19e
1 changed files with 14 additions and 14 deletions
|
|
@ -826,7 +826,7 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
|
|||
|
||||
\begin{thm}
|
||||
\label{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}
|
||||
Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik, seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln und sei $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$,
|
||||
Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik, seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln mit der Eigenschaft, dass $M \otimes_A N$ von endlicher Länge ist und sei $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$,
|
||||
dann gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
|
||||
\item $\chi_\mfq(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$.
|
||||
|
|
@ -844,7 +844,7 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
|
|||
{\Tor^A_i(M, N)}_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) \cong \Tor^{\hat{A}_\mfq}_i(\hat{M}_\mfq, \hat{N}_\mfq).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Wegen $\dim(A) \ge \dim(A_\mfq)$ können wir also annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist.
|
||||
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$.
|
||||
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n =~\dim(A)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{thm}
|
||||
|
||||
|
|
@ -872,7 +872,7 @@ $A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N =
|
|||
\end{equation*}
|
||||
wobei $\mfm$ das Maximalideal von $A$ ist, denn $M \otimes_A N \cong A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge, also sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente von $\Supp(M \otimes_A N)$ maximale Ideale.
|
||||
Also ist $\mfm$ das eindeutige minimale Primideal von $\Supp(M \otimes_A N)$.
|
||||
Wegen $\dim(X) \ge \dim(A)$ können wir auch tatsächlich bis $\dim(X)$ summieren.
|
||||
Wir können auch tatsächlich bis $\dim(X)$ summieren, denn es gilt $\dim(X) \ge \dim(A)$.
|
||||
|
||||
Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also auch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|
|
@ -888,7 +888,7 @@ Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, da
|
|||
\begin{thm}\leavevmode
|
||||
\label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
|
||||
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
|
||||
\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = 0$.
|
||||
\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, so gilt $\chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = 0$.
|
||||
\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{thm}
|
||||
|
|
@ -1079,12 +1079,12 @@ Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
|
|||
wurde für den Fall beliebiger regulärer Ringe 1985 von Paul C. Roberts gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998multiplicities}).
|
||||
Die Frage, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt, ist bis heute ein offenes Problem.
|
||||
|
||||
Wir zeigen nun noch die von Serre bereits gegebenen Beweise.
|
||||
Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale unter einer gewissen Voraussetzung auch im Fall anwendbar, dass $A$ ein formaler Potenzreihenring über einem vollständigen diskreten Bewertungsring ist.
|
||||
Wir führen nun noch die von Serre bereits gegebenen Beweise aus.
|
||||
Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale unter einer gewissen Voraussetzung auch dann anwendbar ist, wenn $A$ ein formaler Potenzreihenring über einem vollständigen diskreten Bewertungsring ist.
|
||||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
\label{prop:reduktion-auf-die-diagonale-diskreter-bewertungsring}
|
||||
Sei $k$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring, $A \cong B$ der formale Potenzreihenring über $k$ in $n$ Variablen über $k$ und seien $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
|
||||
Sei $k$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring, $A \cong B$ der formale Potenzreihenring in $n$ Variablen über $k$ und seien $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
|
||||
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einer $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
|
||||
Sei $\pi$ ein Erzeuger des Maximalideals von $k$.
|
||||
Ist $\pi$ kein Nullteiler auf $M$ und $N$, so gilt
|
||||
|
|
@ -1110,7 +1110,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
|
|||
C \cong k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]].
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Sei außerdem $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
|
||||
Durchfreie Auflösungen von $M$ und $N$ wie in Beweis von \cref{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} und eine $C$-projektive Auflösung von $A \cong C / \mfd$ erhalten wir folgende Spektralsequenz:
|
||||
Durch freie Auflösungen von $M$ und $N$ wie in Beweis von \cref{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring} und eine $C$-projektive Auflösung von $A \cong C / \mfd$ erhalten wir folgende Spektralsequenz:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^C_p(A, \widehat{\Tor}^k_q(M, N)) \Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, N)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -1123,12 +1123,12 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
|
|||
|
||||
\begin{thm}
|
||||
\label{thm:tor-formel-regulaere-ringe-ungleicher-charakteristik-unverzweigt}
|
||||
Die Aussage von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} bleibt auch gültig, wenn man die Voraussetzung, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik durch folgende allgemeinere Voraussetzung ersetzt:
|
||||
Die Aussage von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} bleibt auch gültig, wenn man die Voraussetzung, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist, durch folgende allgemeinere Voraussetzung ersetzt:
|
||||
$A$ ist ein regulärer Ring und für jedes Primideal $\mfp$ von $A$ ist der lokale Ring $A_\mfp$ entweder von gleicher Charakteristik, und von ungleicher Charakteristik und unverzweigt.
|
||||
(Tatsächlich genügt es diese Eigenschaft für alle Maximalideale zu fordern, denn ist $A$ ein unverzweigter regulärer lokaler Ring von ungleicher Charakteristik, dann ist jede Lokalisierung $A_\mfp$ vom gleichen Typ, oder von gleicher Charakteristik.)
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist ein unverzweigter regulärer vollständiger lokaler Ring isomorph zu einem formalen Potenzreihenring über einem unverzweigten vollständigen diskreten Bewertungsring.
|
||||
Durch Lokalisieren und Vervollständigen wie im Beweis von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} genügt es folgendes Lemma zu beweisen:
|
||||
Durch Lokalisieren und Vervollständigen wie im Beweis von \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} genügt es also folgendes Lemma zu beweisen:
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{thm}
|
||||
|
||||
|
|
@ -1155,7 +1155,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
|
|||
wobei wir das Vervollständigte Tensorprodukte $M \widehat{\otimes}_k N$ durch die $\mfm$-adischen Filtrierungen auf $M$ und $N$ erhalten.
|
||||
Außerdem gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N) - 1
|
||||
\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N) - 1.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Sei $\mfd$ das von den Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ erzeugte Ideal von $C$.
|
||||
Da die Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
|
||||
|
|
@ -1171,11 +1171,11 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
|
|||
|
||||
Sei $\overline{M} = M / \pi M$ und $\overline{A} = A / \pi A$.
|
||||
Wegen $\pi M = 0$ folgt $\overline{M} = M$, also ist $M$ auf kanonische Weise ein $\overline{A}$-Modul.
|
||||
Wir haben die Basiswechsel Spektralsequenz
|
||||
Wir haben die \emph{Basiswechsel Spektralsequenz}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
E^2_{p, q} = \Tor^{\overline{A}}_p(M, \Tor^A_q(\overline{A}, N)) \Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, N)
|
||||
E^2_{p, q} = \Tor^{\overline{A}}_p(M, \Tor^A_q(\overline{A}, N)) \Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, N),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
(siehe {}\cite[Applications~5.8.5]{weibel1995introduction}).
|
||||
die im ersten Quadranten liegt (siehe {}\cite[Applications~5.8.5]{weibel1995introduction}).
|
||||
Die kurze exakte Sequenz
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 \longrightarrow A \overset{\cdot \pi}{\longrightarrow} A \longrightarrow \overline{A} \longrightarrow 0
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue