Koszul-Komplex unabhängig von Grundring

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@@ -2,6 +2,9 @@
 \label{cha:der-koszul-komplex}
 Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 
+\section{Der einfache Fall}
+\label{sec:der-einfache-fall}
+
 \begin{defn}
 	\label{defn:koszul-komplex-einfach}
 	Ist $x \in A$, so bezeichnen wir mit $K(x)$ folgenden Komplex:
@@ -14,7 +17,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
     Aus Notationsgründen bezeichnen wir $1\in K_1(x)$ euch mit $e_x$.
 
 	Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$.
-	Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H^K_i(x, M)$ und, wenn klar ist um welchen Komplex es geht, auch mit $H_i(x, M)$.
+	Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H_i(x, M)$.
 	Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt:
 	\begin{align*}
 		{K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\
@@ -118,6 +121,9 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 	\end{proof}
 \end{kor}
 
+\section{Der allgemeine Koszul-Komplex}
+\label{sec:der-allgemeine-koszul-komplex}
+
 \begin{defn}
 	\label{defn:koszul-komplex}
 	Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
@@ -221,6 +227,42 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 	\end{align*}
 \end{defn}
 
+\begin{bem}
+	\label{bem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
+	Wenn wir den zu Grunde liegenden Ring $A$ nennen wollen, dann schreiben wir $K^A(\bmx)$, $H^A_p(\bmx)$, $K^A(\bmx, M)$ und $H^A_p(\bmx, M)$. Tatsächlich ist $K(\bmx, M)$ und damit auch $H_p(\bmx, M)$ aber nicht vom Grundring $A$ abhängig, sondern nur von der abelschen Gruppe $M$ und den Gruppenhomomorphismen $x_i\colon M \to M$, wie das folgende Lemma zeigt.
+\end{bem}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
+	Seien $A$ und $B$ kommutative Ringe und sei $M$ sowohl ein $A$-Modul, als auch ein $B$-Modul.
+	Weiter seien $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$ eine Familie von Elementen aus $B$ mit der Eingeschaft, dass die Multiplikation mit $x_i$ und $y_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ jeweils den gleichen Gruppenhomomorphismus $\psi_i$ auf $M$ liefert.
+	Dann gibt es einen Isomorphismus vom Komplexen von abelschen Gruppen
+	\begin{equation*}
+		K^A(\bmx, M) \cong K^B(\bmy, M),
+	\end{equation*}
+	der natürlich in $M$ ist.
+	\begin{proof}
+		Es gilt:
+		\begin{align*}
+			K^A_p(\bmx, M) &= K^A_p(\bmx) \otimes_A M \\
+			&\cong A^{\binom{r}{p}} \otimes_A M \\
+			&\cong M^{\binom{r}{p}} \\
+			&\cong B^{\binom{r}{p}} \otimes_B M  \\
+			&\cong K^B_p(\bmy) \otimes_B M \\
+			&= K^B_p(\bmy, M)
+		\end{align*}
+		Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Ismorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
+			\phi_p \colon I_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
+		\end{equation*}
+		Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ liefern dann jeweils beide die Abbildung:
+		\begin{align*}
+			d\colon M^{\binom{r}{p}} &\to M^{\binom{r}{p - 1}} \\
+			(0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, i_{j - 1}, \widehat{i_{j}}, i_{j + 1}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0)
+		\end{align*}
+		Die Natürlichkeit ist klar.
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
 \begin{defn}[Reguläre Folge]
 	\label{defn:regulaere-folge}
 	Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt $M$\textbf{-reguläre} Folge, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist.
@@ -285,4 +327,49 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 		Da $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ ist, ist diese Auflösung frei.
 		Insbesondere ist sie projektiv und damit folgt die Behauptung.
 	\end{proof}
-\end{kor}
+\end{kor}
+
+\begin{prop}
+	\label{prop:koszul-homologie-annihilator}
+	$\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul.
+	Für alle $p \in \Z$ gilt dann $\bmx \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M))$ und $\Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M))$.
+	\begin{proof}
+		Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$.
+		Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind außerdem $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
+		Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine reguläre Folge auf $M$ ist, folgt also
+		\begin{equation*}
+			H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M),
+		\end{equation*}
+		Die durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ auf $\Tor^B_p(A, M)$ gegebene $A$-Modulstruktur stimmt offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ überein, also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Ismomorphismus von $A$-Moduln.
+		Insbesondere gilt für alle $a \in A$ mit $a \in \Ann_B(\Tor^B_p(A, M))$ auch $a \in \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
+		Nun gilt
+		\begin{align*}
+			\Ann_{B}(\Tor^B_p(A,M)) &\supset \Ann_B(A) + \Ann_B(M) \\
+			&= (X_1, \ldots, X_r) + \Ann_B(M) \\
+			&\supset (X_1, \ldots, X_r) + \Ann_A(M) + (X_1 - x_1, \ldots, X_r - x_r)
+		\end{align*}
+		und es folgt die Behauptung.
+	\end{proof}
+\end{prop}
+
+\begin{bem}
+	\label{koszul-komplex-lokalisierung-und-vervollstaendigung}
+	Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
+	
+	Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) = {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
+
+	Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) = \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
+	\begin{equation*}
+		K_p(\bmx, \widehat{M}) \cong \bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
+		= \prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
+		\cong \widehat{\prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} M}
+		\cong \widehat{\bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} M}
+		\cong \widehat{K_p(\bmx, M)}
+	\end{equation*}
+	und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen.
+\end{bem}
+
+\section{Die Filtrierung eines Koszul-Komplexes}
+\label{sec:die-filtrierung-eines-koszu-komplexes}
+
+Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sein im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.

custom_commands.tex

@@ -13,6 +13,7 @@
 
 \newcommand{\bmi}{\bm{i}}
 \newcommand{\bmx}{\bm{x}}
+\newcommand{\bmy}{\bm{y}}
 
 \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
 \DeclareMathOperator{\Ch}{Ch}