Koszul Komplex-To Isomorphie hinzugefügt

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@@ -221,12 +221,68 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 	\end{align*}
 \end{defn}
 
+\begin{defn}[Reguläre Folge]
+	\label{defn:regulaere-folge}
+	Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt $M$\textbf{-reguläre} Folge, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist.
+\end{defn}
+
 \begin{prop}
 	\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
-	Wenn zusätzlich zu den Voraussetzunen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
+	Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
 	\begin{proof}
 		Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler in $M$ ist.
 
 		Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$.
+		Es gilt
+		\begin{align*}
+			H_p(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= 0 \qquad \text{für } p \ne 0, \\
+			H_0(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M,
+		\end{align*}
+		also ist $K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)$ ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$.
+		Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler in $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist
+		\begin{equation*}
+			K(\bmx, M) = K(x_r) \otimes_A K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)
+		\end{equation*}
+		nach \cref{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex} ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_r)M$ und damit folgt die Behauptung.
 	\end{proof}
-\end{prop}
+\end{prop}
+
+\begin{bem}
+	\label{bem:koszul-komplex-funktorialität}
+	Ist $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$, dann ist
+	\begin{equation*}
+		K(\bmx, \bullet)\colon \Mod_A \to \Ch(\Mod_A)
+	\end{equation*}
+	ein Funktor.
+	Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesodere flach.
+	Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$.
+	Desweiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus
+	\begin{equation*}
+		\psi_0 \colon H_0(\bmx, \bullet) \to (A/\bmx) \otimes_A \bullet
+	\end{equation*}
+	und weil ${(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}$ ein universeller $\delta$-Funktor von von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$ ist, setzt sich $\psi_0$ eindeutig zu einem Morphismus von $\delta$-Funktoren
+	\begin{equation*}
+		\psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}
+	\end{equation*}
+	fort.
+\end{bem}
+
+\begin{kor}
+	\label{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}
+	Sei $\bmx$ eine $A$-reguläre Folge.
+	Dann ist
+	\begin{equation*}
+		\psi \colon {(H_p(\bmx, \bullet))}_{p \in \N} \to {(\Tor^A_p(A/\bmx, \bullet))}_{p \in \N}
+	\end{equation*}
+	ein Isomorphismus von $\delta$-Funktoren.
+	\begin{proof}
+		Nach \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} ist $H_p(\bmx, A) = 0$ für $p > 0$ und es gilt $H_0(\bmx, A) = A / \bmx$.
+		Also ist $K(\bmx) = K(\bmx, A)$ ein azyklischer Komplex auf $A / \bmx$, also ist
+		\begin{equation*}
+			\cdots \to K_1(\bmx) \to K_0(\bmx) \to A / \bmx \to 0
+		\end{equation*}
+		eine Auflösung.
+		Da $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ ist, ist diese Auflösung frei.
+		Insbesondere ist sie projektiv und damit folgt die Behauptung.
+	\end{proof}
+\end{kor}

custom_commands.tex

@@ -15,10 +15,15 @@
 \newcommand{\bmx}{\bm{x}}
 
 \DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
+\DeclareMathOperator{\Ch}{Ch}
+\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
+\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
 \DeclareMathOperator{\gr}{gr}
 \DeclareMathOperator{\map}{map}
+\DeclareMathOperator{\Mod}{Mod}
 \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
-\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
+\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
+
 \DeclareMathOperator{\pplus}{\phantom{+}}
 \DeclareMathOperator{\poplus}{\phantom{\oplus}}
 \DeclareMathOperator{\peq}{\phantom{=}}