Korrekturen bis Multiplizitäten eingearbeitet
This commit is contained in:
parent
17365e90ab
commit
8cdd8cf70d
7 changed files with 118 additions and 101 deletions
|
|
@ -1,26 +1,29 @@
|
|||
\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc, draft=true]{scrbook}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\hypersetup{pdfinfo={Title={Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}, Author={Johannes Loher}}}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{csquotes}
|
||||
\usepackage{babel}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{lmodern}
|
||||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\usepackage{enumitem}
|
||||
\usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex}
|
||||
\bibliography{bibliography}
|
||||
\usepackage{cleveref}
|
||||
\usepackage{bm}
|
||||
\usepackage{tikz-cd}
|
||||
\usetikzlibrary{babel}
|
||||
|
||||
\input{theorem_environments}
|
||||
\input{custom_commands}
|
||||
|
||||
\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc,BCOR=3mm,draft=true]{scrbook}
|
||||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||||
\usepackage{hyperref}
|
||||
\hypersetup{pdfinfo={Title={Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}, Author={Johannes Loher}}}
|
||||
\usepackage{amsthm}
|
||||
\usepackage{csquotes}
|
||||
\usepackage{babel}
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{lmodern}
|
||||
\usepackage{mathtools}
|
||||
\usepackage{enumitem}
|
||||
\usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex}
|
||||
\bibliography{bibliography}
|
||||
\usepackage{cleveref}
|
||||
\usepackage{bm}
|
||||
\usepackage{tikz-cd}
|
||||
\usetikzlibrary{babel}
|
||||
|
||||
\input{theorem_environments}
|
||||
\input{custom_commands}
|
||||
|
||||
\addtokomafont{disposition}{\rmfamily}
|
||||
\setkomafont{descriptionlabel}{\normalfont\itshape}
|
||||
|
||||
\begin{document}
|
||||
\frontmatter
|
||||
\include{title}
|
||||
|
|
@ -39,7 +42,7 @@
|
|||
\printbibliography
|
||||
|
||||
\chapter*{Eigenständigkeitserklärung}
|
||||
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung}
|
||||
|
||||
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
|
||||
|
||||
\vspace{1.5cm}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -102,7 +102,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
|
|||
\end{proof}
|
||||
\end{deflem}
|
||||
|
||||
Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt für $k > 0$ offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$.
|
||||
Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$ für $k > 0$.
|
||||
Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x),
|
||||
|
|
@ -127,7 +127,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
|
|||
Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
|
||||
Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
|
||||
Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
|
||||
Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$.
|
||||
Ist $k$ der Grad von $P_f$, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -212,7 +212,7 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
|
|||
\begin{nota}
|
||||
\label{nota:hilbert-polynomial}
|
||||
Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet.
|
||||
Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$.
|
||||
Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir als $Q(M,n)$.
|
||||
Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
|
||||
\end{nota}
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -26,11 +26,11 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H_i(x, M)$.
|
||||
Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
{K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\
|
||||
{K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M, \\
|
||||
{K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M, \\
|
||||
{K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1 \\
|
||||
{K(x,M)}_0 &= K_0(x)\otimes_A M \cong M \\
|
||||
{K(x,M)}_1 &= K_1(x)\otimes_A M \cong M \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
und die Randabbildung
|
||||
Die Randabbildung
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -42,7 +42,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
\begin{align*}
|
||||
H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\
|
||||
H_0(x,M) &= M/xM, \\
|
||||
H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M).
|
||||
H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M,\, m \mapsto xm).
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
|
|
@ -55,7 +55,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
\end{equation*}
|
||||
exakt.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Die natürliche Einbettung $A \to K(x)$ liefert eine Einbettung von Komplexen
|
||||
Die natürliche Inklusion $A \to K(x)$ liefert einen Monomorphismus von Komplexen
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
L = A \otimes_A L \to K(x) \otimes_A L.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -159,17 +159,17 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
\end{equation}
|
||||
Dabei verwenden wir die Konvention, dass das Symbol unter \enquote{$\widehat{\;}$} weggelassen wird.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Für $p\in \Z$ sei $I_p^r = \lbrace\bmi \subset \lbrace1,\ldots,r\rbrace \mid \#\bmi = p\rbrace$. Wir haben folgendes zu zeigen:
|
||||
Für $p\in \Z$ sei $\mcI_p^r = \lbrace I \subset \lbrace1,\ldots,r\rbrace \mid \#I = p\rbrace$. Wir haben folgendes zu zeigen:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
K_p(\bmx) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
|
||||
K_p(\bmx) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Dies beweisen wir durch Induktion über $r$.
|
||||
Im Fall $r = 1$ gilt $I_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $I_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $I_p^1 = \emptyset$.
|
||||
Im Fall $r = 1$ gilt $\mcI_0^1 = \lbrace\emptyset\rbrace$, $\mcI_1^1 = \lbrace\lbrace1\rbrace\rbrace$ und für $p \notin \lbrace0, 1\rbrace$ gilt $\mcI_p^1 = \emptyset$.
|
||||
Damit folgt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
K_0(\bmx) &= K_0(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_0^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
K_1(\bmx) &= K_1(x_1) = \bigoplus_{\bmi \in I_1^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
K_p(\bmx) &= K_p(x_1) = 0 = \bigoplus_{\bmi \in I_p^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) && \text{für }p \notin \lbrace0, 1\rbrace
|
||||
K_0(\bmx) &= K_0(x_1) = \bigoplus_{I \in \mcI_0^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
K_1(\bmx) &= K_1(x_1) = \bigoplus_{I \in \mcI_1^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
K_p(\bmx) &= K_p(x_1) = 0 = \bigoplus_{I \in \mcI_p^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) && \text{für }p \notin \lbrace0, 1\rbrace
|
||||
\end{align*}
|
||||
Für die Randabbildung $d\colon K_1(x_1) \to K_0(x_1)$ im Grad $1$ gilt
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -183,22 +183,30 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
Sei außerdem $\bmx' = (x_1,\ldots,x_{r-1})$.
|
||||
Dann gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
K_p(\bmx) &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
|
||||
&= \bigoplus_{j \in \lbrace0,1\rbrace} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
|
||||
&= \poplus\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_0(x_r)\\
|
||||
&\peq \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_1(x_r)\\
|
||||
&= \poplus\bigoplus_{\bmi \in I_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
&\peq \oplus \bigoplus_{\bmi \in I_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi \cup \lbrace r \rbrace}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus (\bmi \cup \lbrace r \rbrace)}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
&= \poplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \notin \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
&\peq \oplus \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
&= \bigoplus_{\substack{\bmi \in I_{p}^{r}\\r \in \bmi}}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
&= \bigoplus_{\bmi \in I_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right)
|
||||
K_p(\bmx) & = \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
|
||||
& = \bigoplus_{j \in \lbrace0,1\rbrace} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
|
||||
& =
|
||||
\begin{aligned}[t]
|
||||
& \bigoplus_{I \in \mcI_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_0(x_r)\\
|
||||
\oplus & \bigoplus_{I \in \mcI_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r - 1\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right) \otimes_A K_1(x_r)
|
||||
\end{aligned}\\
|
||||
& =
|
||||
\begin{aligned}[t]
|
||||
& \bigoplus_{I \in \mcI_p^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
\oplus & \bigoplus_{I \in \mcI_{p - 1}^{r - 1}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I \cup \lbrace r \rbrace}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus (I \cup \lbrace r \rbrace)}K_0(x_i)\right)\right)
|
||||
\end{aligned}\\
|
||||
& =
|
||||
\begin{aligned}[t]
|
||||
& \bigoplus_{\substack{I \in \mcI_{p}^{r}\\r \notin I}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)\\
|
||||
\oplus & \bigoplus_{\substack{I \in \mcI_{p}^{r}\\r \in I}}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)
|
||||
\end{aligned}\\
|
||||
& = \bigoplus_{I \in \mcI_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$.
|
||||
Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{1}_{\in K_0(x_r)}) \\
|
||||
=& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^p e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\
|
||||
=& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}}) \otimes 1 + {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - 1 - p)\text{-mal}} \otimes \underbrace{d(1)}_{= 0} \\
|
||||
=& \left(\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}\right) \otimes 1 \\
|
||||
=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
|
|
@ -220,7 +228,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
\label{defn:koszul-komplex-modul}
|
||||
Ist $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$. Wegen \cref{lem:koszul-komplex-berechnung} gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right)
|
||||
K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{I \in \mcI_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
|
|
@ -231,7 +239,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$.
|
||||
Wir bezeichnen mit $\bmx$ auch das Ideal $(x_1, \ldots,x_r)$.
|
||||
Ab nun bezeichnen wir mit $\bmx$ und $(x_1, \ldots, x_r)$ je nach Kontext auch das von den Elementen $x_1, \ldots, x_r$ erzeugte Ideal in A.
|
||||
Offensichtlich gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
H_0(\bmx, M) &= M/\left(\bigoplus_{i = 1}^r x_i M \right) = M/\bmx M \\
|
||||
|
|
@ -241,7 +249,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
\label{bem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring}
|
||||
Wenn wir den zu Grunde liegenden Ring $A$ nennen wollen, dann schreiben wir $K^A(\bmx)$, $H^A_p(\bmx)$, $K^A(\bmx, M)$ und $H^A_p(\bmx, M)$. Tatsächlich ist $K(\bmx, M)$ und damit auch $H_p(\bmx, M)$ aber nicht vom Grundring $A$ abhängig, sondern nur von der abelschen Gruppe $M$ und den Gruppenhomomorphismen $x_i\colon M \to M$, wie das folgende Lemma zeigt.
|
||||
Wenn wir den zu Grunde liegenden Ring $A$ nennen wollen, dann schreiben wir $K^A(\bmx)$, $H^A_p(\bmx)$, $K^A(\bmx, M)$ und $H^A_p(\bmx, M)$. Tatsächlich ist $K(\bmx, M)$ und damit auch $H_p(\bmx, M)$ aber nicht vom Grundring $A$ abhängig, sondern nur von der abelschen Gruppe $M$ und den Gruppenhomomorphismen $\cdot x_i\colon M \to M,\, m \mapsto xm$, wie das folgende Lemma zeigt.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
|
|
@ -264,7 +272,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
&= K^B_p(\bmy, M)
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Ismorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine Bijektive Abbildung \begin{equation*}
|
||||
\phi_p \colon I_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
|
||||
\phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ liefern dann jeweils beide die Abbildung:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|
|
@ -282,7 +290,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
|
||||
Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
|
||||
Wenn $\bmx$ zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
|
||||
|
||||
|
|
@ -331,11 +339,11 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
ein Isomorphismus von $\delta$-Funktoren.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Nach \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} ist $H_p(\bmx, A) = 0$ für $p > 0$ und es gilt $H_0(\bmx, A) = A / \bmx$.
|
||||
Also ist $K(\bmx) = K(\bmx, A)$ ein azyklischer Komplex auf $A / \bmx$, also ist
|
||||
Also ist $K(\bmx) = K(\bmx, A)$ ein azyklischer Komplex auf $A / \bmx$ und damit ist
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\cdots \to K_1(\bmx) \to K_0(\bmx) \to A / \bmx \to 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
eine Auflösung.
|
||||
eine Auflösung von $A / \bmx$.
|
||||
Da $K_p(\bmx)$ der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ ist, ist diese Auflösung frei.
|
||||
Insbesondere ist sie projektiv und damit folgt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
|
@ -354,7 +362,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
\end{equation*}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$.
|
||||
Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind außerdem $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
|
||||
Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind dann $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
|
||||
Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine reguläre Folge auf $M$ ist, folgt also
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
|
||||
|
|
@ -376,9 +384,9 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
\label{koszul-komplex-lokalisierung-und-vervollstaendigung}
|
||||
Sei $M$ ein $A$-Modul und $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
|
||||
|
||||
Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) = {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
|
||||
Ist $S \subset A$ eine multiplikative Menge, so gilt $K(\bmx, M_S) \cong {K(\bmx, M)}_S$, denn die Funktoren $\bullet_S\colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ und $\bullet \otimes_A A_S \colon \Mod_A \to \Mod_{A_S}$ sind natürlich isomorph.
|
||||
|
||||
Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) = \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
|
||||
Statten wir die $M$ und $K(\bmx, M)$ jeweils mit der $\bmx$-adischen Filtrierung aus, so gilt $K(\bmx, \widehat{M}) \cong \widehat{K(\bmx, M)}$, denn
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
K_p(\bmx, \widehat{M}) \cong \bigoplus_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
|
||||
= \prod_{i = 1}^{\binom{r}{p}} \widehat{M}
|
||||
|
|
@ -406,8 +414,8 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
|
|||
Sind beide Voraussetzungen gegeben, so stimmen die beiden Definitionen überein, da die Länge additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
|
||||
Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
|
||||
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
|
||||
Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für alle Primideale $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
|
||||
Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$.
|
||||
Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -423,7 +431,7 @@ Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\l
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist und wir mit $e_{\bmx}(M, r)$ das konstante Polynom $\Delta^r P_{\bmx}(M)$ bezeichnen.
|
||||
wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist.
|
||||
|
||||
Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M, r)$ miteinander vergleichen.
|
||||
|
||||
|
|
@ -437,10 +445,10 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
{(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf $K$.
|
||||
Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf~$K$.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring.
|
||||
Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$.
|
||||
Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$.
|
||||
Seien $y_1, \ldots, y_r$ die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$.
|
||||
Sei $\gr(M)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $M$ gehörige graduierte $\gr(A)$-Modul.
|
||||
Dann gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|
|
@ -449,24 +457,24 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
|
|||
denn
|
||||
\begin{align*}
|
||||
{\gr(K)}_p &= \bigoplus_{i \in \Z}{(F^i K)}_p / {(F^{i + 1} K)}_p \\
|
||||
&= \bigoplus_{i \in \Z} x^{i - p}K_p / x^{i + 1 - p}K_p \\
|
||||
&= \bigoplus_{i \in \Z} x^i K_p / x^{i + 1}K_p \\
|
||||
&\cong \bigoplus_{i \in \Z} x^i M^{\binom{r}{p}} / x^{i + 1} M^{\binom{r}{p}} \\
|
||||
&\cong {\left(\bigoplus_{i \in \Z} x^i M / x^{i + 1} M \right)}^{\binom{r}{p}} \\
|
||||
&= \bigoplus_{i \in \Z} \bmx^{i - p}K_p / \bmx^{i + 1 - p}K_p \\
|
||||
&= \bigoplus_{i \in \Z} \bmx^i K_p / \bmx^{i + 1}K_p \\
|
||||
&\cong \bigoplus_{i \in \Z} \bmx^i M^{\binom{r}{p}} / \bmx^{i + 1} M^{\binom{r}{p}} \\
|
||||
&\cong {\left(\bigoplus_{i \in \Z} \bmx^i M / \bmx^{i + 1} M \right)}^{\binom{r}{p}} \\
|
||||
&= {\gr(M)}^{\binom{r}{p}} \\
|
||||
&\cong K_p(\bmy, \gr(M))
|
||||
\end{align*}
|
||||
und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen der beiden Komplexe.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Weil $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul ist, ist $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweise von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist.
|
||||
Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln.
|
||||
Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugte Moduln über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
|
||||
Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar als endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
|
||||
Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugt über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
|
||||
Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
|
||||
Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
H_p(\bmy, \gr(M)) = \bigoplus_{i \in \Z} H_p(F^i K / F^{i + 1}K)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
gibt es also ein $m \ge 0$ mit der Eigenschaft, dass $H_p(F^i K / F^{i + 1}K) = 0$ für alle $i > m$ und alle $p \in \Z$. Ohne Einschränkung können wir $m \ge r$ annehmen.
|
||||
gibt es ein $m \ge 0$ mit der Eigenschaft, dass $H_p(F^i K / F^{i + 1}K) = 0$ für alle $i > m$ und alle $p \in \Z$. Ohne Einschränkung können wir $m \ge r$ annehmen.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} Wir zeigen nun $H_p(F^i K / F^{i + j} K) = 0$ für alle $p \in \Z$, $i > m$ und $j \ge 0$ durch Induktion über $j$:
|
||||
Im Fall $j = 0$ ist die Behauptung trivial.
|
||||
Sei also nun $j \ge 1$ und die Behauptung für $j - 1$ bereits gezeigt.
|
||||
|
|
@ -475,18 +483,26 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
|
|||
0 \to F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j - 1}K \to 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Dies liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\cdots &\to H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K) \to \\
|
||||
& \to H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to \cdots
|
||||
\end{align*}
|
||||
Nach Voraussetzung ist $j \ge 1$, also ist $i + j - 1 > m$ und damit folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} $H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$.
|
||||
Nach Induktionsvoraussetzung gilt $H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$, das heißt wir erhalten für alle $p \in \Z$ die kurze exakte Sequenz
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{tikzcd}[column sep=tiny]
|
||||
\cdots \ar[r] & H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \ar[r] & H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \ar[r] \ar[d, phantom, ""{coordinate, name=Z}]
|
||||
& H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K)\arrow[dll,
|
||||
rounded corners,
|
||||
to path={ -- ([xshift=2ex]\tikztostart.east)
|
||||
|- (Z) [near end]\tikztonodes
|
||||
-| ([xshift=-2ex]\tikztotarget.west)
|
||||
-- (\tikztotarget)}] \\
|
||||
& H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \ar[r] & \cdots
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{center}
|
||||
Nach Voraussetzung ist $j \ge 1$, also ist $i + j - 1 > m$ und damit folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} bereits $H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$.
|
||||
Nach Induktionsvoraussetzung gilt $H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K) = 0$ für alle $p \in \Z$, das heißt wir erhalten für alle $p \in \Z$ die exakte Sequenz
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 \to 0 \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to 0 \to 0,
|
||||
0 \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to 0,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
also muss auch $H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) = 0$ gelten.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-6} Seien $Z^i_p$ und $B^i_p$ jeweils die Moduln der Zykel und Ränder in ${(F^i K)}_p$.
|
||||
Nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} gilt $H_p(F^i K / \bmx^j {(F^i K)}_p) = 0$ für alle $j \ge 0$, also
|
||||
Nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} gilt $H_p(F^i K / \bmx^j {(F^i K)}_p) = 0$ für alle $j \ge 0$ und $i > m$, also
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
Z^i_p \subset B^i_p + \bmx^j {(F^i K)}_p.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -495,9 +511,9 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
|
|||
Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p},
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet.
|
||||
Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}).
|
||||
Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eines endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corrolary~4 nach Theorem~1]{serre2000local}).
|
||||
Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Wir betrachten nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 \to F^i K \to K \to K / F^i K \to 0.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -511,7 +527,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
|
|||
\end{equation*}
|
||||
für alle $p \in \Z$ ein Isomorphismus ist.
|
||||
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-8} Wegen $\length_A(M/\bmx M) < \infty$ sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente in $\Supp(M) \cap V(\bmx)$ maximale Ideale.
|
||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-8} Weil $M/\bmx M$ von endlicher Länge ist, sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente in $\Supp(M) \cap V(\bmx)$ maximale Ideale.
|
||||
Wegen $V(\bmx^i) = V(\bmx)$ gilt also nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} auch $\length_A(M / \bmx^i M) < \infty$ und damit ist auch
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{(K / F^i K)}_p \cong {(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -956,10 +956,10 @@ Dies ermöglicht es uns \cref{prop:schnitt-zykel} anzuwenden.
|
|||
Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
|
||||
|
||||
\begin{description}
|
||||
\item[Kommutativität]
|
||||
\item[Kommutativität.]
|
||||
Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch.
|
||||
|
||||
\item[Assoziativität]
|
||||
\item[Assoziativität.]
|
||||
Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$.
|
||||
Wir nehmen an, dass die Schnittprodukte $z \cdot z'$, $(z \cdot z') \cdot z''$, $z' \cdot z''$ und $z \cdot (z' \cdot z'')$ definiert sind.
|
||||
Dann müssen wir
|
||||
|
|
@ -1000,7 +1000,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
|
|||
\sum_{i} {(-1)}^i x_i = (z \cdot z') \cdot z'',
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und damit die gewünschte Assoziativitätsformel.
|
||||
\item[Produktformel]
|
||||
\item[Produktformel.]
|
||||
Sei $X'$ eine weitere nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n'$ und $A'$ ihr Koordinatenring.
|
||||
Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und wir nehmen an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt
|
||||
\begin{equation}
|
||||
|
|
@ -1013,7 +1013,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
\Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\item[Reduktion auf die Diagonale]
|
||||
\item[Reduktion auf die Diagonale.]
|
||||
Sei $\Delta$ die Diagonale in $X \times_{\Spec(k)} X$.
|
||||
Sind $z_1$ und $z_2$ zwei Zykel auf $X$, die sich eigentlich schneiden, so müssen wir die Formel
|
||||
\begin{equation}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -42,8 +42,8 @@ wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \w
|
|||
Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
|
||||
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
|
||||
\item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
|
||||
\item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
|
||||
\item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
|
||||
\item $\chi^A(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
|
||||
\item $\chi^A(M, N) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lokale Ringe gleicher Charakteristik kann man dieses Theorem nun auch auf den Fall verallgemeinern, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist.
|
||||
Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist.
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -17,17 +17,15 @@
|
|||
\newcommand{\mfP}{\mathfrak{P}}
|
||||
\newcommand{\mfQ}{\mathfrak{Q}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\bmi}{\bm{i}}
|
||||
%\newcommand{\bmx}{\text{\ttfamily\bfseries\upshape{}x}}
|
||||
\newcommand{\bmx}{\bm{\mathrm{x}}}
|
||||
\newcommand{\bmy}{\bm{\mathrm{y}}}
|
||||
\newcommand{\bmX}{\bm{\mathrm{X}}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\mcI}{\mathcal{I}}
|
||||
\newcommand{\mcM}{\mathcal{M}}
|
||||
\newcommand{\mcN}{\mathcal{N}}
|
||||
\newcommand{\mcO}{\mathcal{O}}
|
||||
\newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}}
|
||||
\DeclareMathOperator{\mcTor}{\mathcal{T}\!\mathit{or}}
|
||||
|
||||
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
|
||||
|
|
|
|||
14
title.tex
14
title.tex
|
|
@ -1,19 +1,19 @@
|
|||
\begin{titlepage}
|
||||
\begin{center}
|
||||
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\par\vspace{1cm}
|
||||
\textsc{\LARGE{}Universität Regensburg}\par\vspace{0.5cm}
|
||||
\textsc{\Large{}Fakultät für Mathematik}\par\vspace{1cm}
|
||||
\textsc{\LARGE Universität Regensburg}\par\vspace{0.5cm}
|
||||
\textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\par\vspace{1cm}
|
||||
\begin{huge}
|
||||
\textbf{Serres $\BTor$-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\par
|
||||
\end{huge}\vspace{1cm}
|
||||
{\LARGE{}Masterarbeit}\par\vspace{0.5cm}
|
||||
{\Large{}von}\par
|
||||
{\LARGE Masterarbeit}\par\vspace{0.5cm}
|
||||
{\Large von}\par
|
||||
{\LARGE\bfseries{}Johannes Loher}\par
|
||||
{\large{}(Matrikelnummer 1 576 123)}\par\vspace{1cm}
|
||||
{\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\par\vspace{1cm}
|
||||
\begin{tabular}{ll}
|
||||
\large{}Betreuer: & \large{}Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
|
||||
\large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
|
||||
\end{tabular}
|
||||
\vfill
|
||||
{\large{}\today}
|
||||
{\large \today}
|
||||
\end{center}
|
||||
\end{titlepage}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in a new issue