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@ -10,7 +10,8 @@
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage{lmodern}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{enumerate}
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%\usepackage{enumerate}
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\usepackage{enumitem}
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\usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex}
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\bibliography{bibliography}
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\usepackage{cleveref}
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@ -69,7 +69,7 @@
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\begin{deflem}[Ganzzahliges Polynom]
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\label{deflem:ganzzahliges-polynom}
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Ein Polynom $f \in \Q[X]$ heißt \textbf{ganzzahlig}, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}[(a)]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$.
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\item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$.
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\item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$.
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@ -121,7 +121,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
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\begin{lem}
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\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
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Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
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\begin{enumerate}[(a)]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$
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\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$
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\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
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@ -146,7 +146,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
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\label{sec:das-hilbert-polynom}
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Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
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\begin{enumerate}[(a)]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item $H_0$ ist artinsch.
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\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
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\end{enumerate}
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@ -191,7 +191,7 @@ Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebrais
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Sei $k$ ein Körper.
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Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$ und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, dann gilt
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\begin{equation*}
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\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
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\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W)
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\end{equation*}
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Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt:
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Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt
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@ -286,7 +286,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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\label{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale}
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Sei $k$ ein Körper und $A$ eine $k$-Algebra.
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Sei außerdem $C = A \otimes_k A$ und sei $\phi \colon C \to A$ der durch $\phi(a \otimes b) = ab$ definierte Homomorphismus. Dann gilt:
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\begin{enumerate}[(a)]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Der Kern $\mfd$ von $\phi$ ist das Ideal von $C$, das von den Elementen der Form
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\begin{equation*}
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1 \otimes a - a \otimes 1, \qquad a \in A
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@ -295,7 +295,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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\item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[(a)]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
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Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$.
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Dann gilt:
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@ -455,7 +455,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
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Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
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Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
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\begin{enumerate}[(a)]
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item Es gilt
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\begin{equation}
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\label{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale}
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@ -508,7 +508,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[(a)]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
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\item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
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Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$.
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@ -600,26 +600,50 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
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Folglich gilt:
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\begin{align*}
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M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
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||||
&\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
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||||
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
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||||
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
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\end{align*}
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\todo{Wie gehts weiter\ldots?}%TODO:
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\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.\todo{$\Tor$?}%TODO:
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\begin{equation*}
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\label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts}\tag{$\bigcirc$}
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\begin{aligned}
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||||
M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
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||||
&\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
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||||
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
|
||||
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
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||||
\end{aligned}
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\end{equation*}
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Nun gilt offensichtlich
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\begin{equation*}
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{(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p = \sum_{s + t = p} \mfm^s \otimes_k \mfn^t \supset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p.
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\end{equation*}
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Sind andererseits $s, t \in \N$ mit $s + t = 2p$, so gilt $s \ge p$ oder $t \ge p$ und damit folgt $\mfm^s \otimes_k \mfn^t \subset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p$, also
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\begin{equation*}
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\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2n} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}.
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\end{equation*}
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Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung $((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt
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\begin{equation*}
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M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
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\end{equation*}
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||||
\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
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Analog sieht man auch, dass $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ voll ständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie ist.
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Es gilt also auch
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\begin{equation*}
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(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
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\cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn).
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\cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
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\end{equation*}
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Analog folgt
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und
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\begin{equation*}
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(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
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\end{equation*}
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Da $\mfr$ endlich erzeugt ist,\todo{Warum?}%TODO:
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und $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ auch noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
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Es gilt $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$, also ist $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$ endlich erzeugt und es folgt, dass auch $M \widehat{\otimes}_k N$ endlich erzeugt ist (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).\todo{Maximalideale?}%TODO:
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Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
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Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
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Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
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Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
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Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ ind $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
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Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$.
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Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
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\item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
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Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
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\begin{gather*}
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@ -651,7 +675,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\begin{equation*}
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a_1^n N = a_1^{n+1} N
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\end{equation*}
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Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, folgt mit dem Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
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Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, folgt mit dem Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N =~0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
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Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft.
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Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$.
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Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$.
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@ -672,8 +696,8 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
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\end{bem}
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Wir untersuchen nun den für uns wichtigsten Fall, nämlich dass $k$ ein Körper ist,$A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
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||||
In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) = 0$ für $i > 0$, denn denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
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Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
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||||
In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =~0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
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||||
Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$ ist, wobei
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\begin{equation*}
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\mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
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@ -712,14 +736,18 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
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\end{equation}
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\begin{proof}
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Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
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||||
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
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||||
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
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||||
Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
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||||
Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus
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\begin{equation*}
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\gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N).
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\end{equation*}
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Dieser ist bijektiv, \todo{Beweis?}%TODO:
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also gilt\todo{Wie folgt das?}%TODO:
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Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt
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\begin{equation*}
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\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
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\end{equation*}
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Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, zeigt dies, dass der obige Morphismus ein Isomorphismus ist.
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Also gilt
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\begin{equation*}
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\dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N)
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\end{equation*}
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@ -727,6 +755,7 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
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\begin{equation*}
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e_\mfs(M \widehat{\otimes}_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)).
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||||
\end{equation*}
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Sind
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\begin{equation*}
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\cdots \to K_1 \to K_0 \to M \to 0
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@ -735,9 +764,9 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
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|||
\begin{equation*}
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||||
\cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
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||||
\end{equation*}
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||||
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.\todo{Warum?}%TODO:
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||||
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.
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||||
Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
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||||
Dann gilt\todo{Warum?}%TODO:
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A
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\end{equation*}
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||||
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@ -796,12 +825,13 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
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\item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
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\end{enumerate}
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||||
\begin{proof}
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||||
Durch Vervollständigung erhalten wir \todo{Wieso?}%TODO: Wieso?
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Da $A_\mfq$ regulär ist, gilt $\dim(A_\mfq) = \globdim(A_\mfq)$ und damit folgt $\Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) =~0$ für alle $i > \dim(A_\mfq)$.
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||||
Durch Vervollständigung erhalten wir
|
||||
\begin{equation*}
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||||
\Tor^A_i(M, N)_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq),
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||||
\Tor^A_i(M, N)_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) \cong \Tor^{\hat{A}_\mfq}_i(\hat{M}_\mfq, \hat{N}_\mfq).
|
||||
\end{equation*}
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||||
Also können wir annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. \todo{Warum ist $\dim(A) = \dim(A_\mfq)$?}%TODO:
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||||
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$ und dann folgt die Behauptung, wie wir weiter oben gesehen haben.
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||||
Wegen $\dim(A) \ge \dim(A_\mfq)$ können wir also annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist.
|
||||
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$.
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||||
\end{proof}
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||||
\end{thm}
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@ -814,18 +844,11 @@ Seien $U$, $V$ und $W$ drei irreduzible Untervarietäten von $X$, wobei $W$ eine
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Wir nehmen zusätzlich an, dass der lokale Ring $A$ von $X$ bei $W$ regulär ist.
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Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ in der Menge der glatten Punkte von $X$ liegt.
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Nach \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} gilt nun\todo{Wieso auch im nicht affinen Fall?}%TODO:
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\begin{equation}
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\label{eq:dimension-intersection}
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\dim(U) + \dim(V) \le \dim(X) + \dim(W).
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\end{equation}
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Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
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Seien $\mfp_U$ und $\mfp_V$ die Primideale des lokalen Rings $A$, die zu den Untervarietäten $U$ und $V$ gehören.
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Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.\todo{Warum?}%TODO:
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Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so erhalten wir, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik\todo{Wieso bis $\dim(X)$?}%TODO:
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Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.
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Verwenden wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}, so erhalten wir, dass die Euler-Poincaré-Charakteristik
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\begin{equation*}
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\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(X)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(A / \mfp_U, A / \mfp_V))
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\chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(X)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(A / \mfp_U, A / \mfp_V))
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\end{equation*}
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wohldefiniert und $\ge 0$ ist.
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@ -836,10 +859,22 @@ $A$ ist regulär von gleicher Charakteristik und für $M = A / \mfp_U$ und $N =
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\end{equation*}
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wobei $\mfm$ das Maximalideal von $A$ ist, denn $M \otimes_A N \cong A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge, also sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente von $\Supp(M \otimes_A N)$ maximale Ideale.
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Also ist $\mfm$ das eindeutige minimale Primideal von $\Supp(M \otimes_A N)$.
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Wegen $\dim(X) \ge \dim(A)$ können wir auch tatsächlich bin $\dim(X)$ summieren.
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Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also auch
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\begin{equation*}
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\dim(A / \mfp_U) + \dim(A / \mfp_V) \le \dim(A) = \dim(X) - \dim(W),
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\end{equation*}
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und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V) - \dim(W)$ folgt damit
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\begin{equation}
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\label{eq:dimension-intersection}
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\dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W).
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\end{equation}
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Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
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\begin{thm}
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\label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
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\begin{enumerate}[(a)]
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\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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\item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
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\item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
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\end{enumerate}
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@ -28,6 +28,7 @@
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\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
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\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
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\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
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\DeclareMathOperator{\globdim}{globdim}
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\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
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\DeclareMathOperator{\height}{ht}
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\DeclareMathOperator{\map}{map}
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