Olis Korrekturen
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@ -80,14 +80,14 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$.
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\item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$.
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\item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$.
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\item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \in \Z$ mit $z \ge z_0$.
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\item $\Delta f$ besitzt die Eigenschaft aus (a) und es gibt mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$.
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\end{enumerate}
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Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$.
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\begin{proof}[Beweis der Äquivalenz]
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Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar.
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Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
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Sei also nun (d) wahr. Weil die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
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Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und (a) von $\Delta f$ erfüllt wird, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
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Da es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$.
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Also sind (a) und (d) äquivalent.
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@ -124,9 +124,9 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
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\begin{defn}[Polynomartige Funktion]
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\label{defn:polynomartige-funktionen}
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Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{po\-ly\-nom\-ar\-tig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
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Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
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Es gibt ein $m \in A$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \in A$ mit $n \ge m$.
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Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
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Ist $k$ der Grad von $P_f$, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_l(f)$ anstatt von $e_l(P_f)$.
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Ist $k$ der Grad von $P_f$, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_l(f)$ an Stelle von $e_l(P_f)$.
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\end{defn}
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@ -163,8 +163,8 @@ Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folge
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\item $H_0$ ist artinsch.
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\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
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\end{enumerate}
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Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist.
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Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
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Dann gillt $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist.
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Weil $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es demnach auch $H$.
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Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
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$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
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@ -174,7 +174,7 @@ Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1})$, also habe
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H_0 \cong H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \twoheadrightarrow H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) \cong H/\Ann(M_n).
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\end{equation*}
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Folglich ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch.
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Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
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Demnach ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
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\begin{align*}
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\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
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n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
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@ -279,7 +279,7 @@ wohldefiniert.
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M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
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\end{equation*}
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erzeugt.
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Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch.
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Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch ist, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch.
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Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul.
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Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul.
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Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
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@ -305,7 +305,7 @@ wohldefiniert.
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\end{equation}
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wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assoziierte graduierte Modul ist.
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Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$.
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Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt $P((\mfq^i M))$.
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Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
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\end{bem}
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@ -314,7 +314,7 @@ wohldefiniert.
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Es gilt \begin{equation*}
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P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
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\end{equation*}
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wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
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wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$ ist, dessen führender Koeffizient $\ge 0$ ist.
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\begin{proof}
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Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$.
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Für alle $n \ge 0$ gilt dann
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@ -409,7 +409,7 @@ wohldefiniert.
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V(\mfq) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\} = V(\mfq'),
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\end{equation*}
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wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
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Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$.
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Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {(\mfq')}^n$.
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Für große $n$ gilt demnach
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\begin{equation*}
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P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
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@ -440,7 +440,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
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\label{lem:d-kleinergleich-s}
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Es gilt $d(M) \le s(M)$.
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\begin{proof}
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Nach der Definition von $s(M)$ gibt es ein Ideal $\mfa \subset \mfm$ von $A$, das von $s(M)$ Elementen erzeugt wird, mit $\length_A(M / \mfa M) < \infty$.
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Nach der Definition von $s(M)$ gibt es ein Ideal $\mfa$ von $A$ mit $\length_A(M / \mfa M) < \infty$, das von $s(M)$ Elementen erzeugt wird.
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Demnach gilt
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\begin{equation*}
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d(M) = \deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfa}(M)
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@ -72,6 +72,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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\end{equation*}
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Es gilt
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\begin{align*}
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\SwapAboveDisplaySkip
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{(K(x) \otimes_A L)}_p &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(x) \otimes_A L_j \\
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&= K_0(x) \otimes_A L_p \oplus K_1(x) \otimes_A L_{p -1}
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\end{align*}
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@ -180,6 +181,8 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung für alle $s\in \N$ mit $0 \le s < r$ bereits bewiesen.
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Sei außerdem $\bmx' = (x_1,\ldots,x_{r-1})$.
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Dann gilt:
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\begingroup
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\allowdisplaybreaks
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\begin{align*}
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K_p(\bmx) & = \bigoplus_{i + j = p} K_i(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
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& = \bigoplus_{j \in \lbrace0,1\rbrace} K_{p - j}(\bmx') \otimes_A K_j(x_r)\\
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@ -200,6 +203,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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\end{aligned}\\
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& = \bigoplus_{I \in \mcI_p}\left( \left(\bigotimes_{i \in I}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus I}K_0(x_i)\right)\right)
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\end{align*}
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\endgroup
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Nun betrachten wir die Randabbildung $d\colon K_p(\bmx) \to K_{p - 1}(\bmx)$.
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Dabei unterscheiden wir die zwei Fälle $r \in \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$ und $r \notin \lbrace i_1, \ldots, i_p\rbrace$. Im ersten Fall gilt:
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\begin{align*}
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@ -210,6 +214,8 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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\end{align*}
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Im zweiten Fall können wir ohne Einschränkung $r = i_p$ annehmen.
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Dann gilt:
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\begingroup
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\allowdisplaybreaks
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\begin{align*}
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& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) \\
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=&\pplus d(e_y{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1))\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\
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@ -220,6 +226,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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& + {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
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=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\qedhere
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\end{align*}
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\endgroup
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{defn}[Koszul-Komplex]
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@ -272,10 +279,10 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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Wir müssen also nur noch zeigen, dass diese Isomorphismen mit den Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ kompatibel sind. Es gibt eine bijektive Abbildung \begin{equation*}
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\phi_p \colon \mcI_p \to \left\lbrace 1, \ldots, \binom{r}{p} \right\rbrace.
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\end{equation*}
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Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ induzieren dann jeweils beide die Abbildung:
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Die Randabbildungen von $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(\bmy, M)$ induzieren dann jeweils beide die Abbildung
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\begin{align*}
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d\colon M^{\binom{r}{p}} &\to M^{\binom{r}{p - 1}} \\
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(0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, i_{j - 1}, \widehat{i_{j}}, i_{j + 1}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0)
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(0, \ldots, 0, \underbrace{m}_{\mathclap{\phi_p(\lbrace i_1, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0) &\mapsto \sum_{j = 1}^p {(-1)}^{j + 1} (0, \ldots, 0, \underbrace{\psi_j(m)}_{\mathclap{\phi_{p - 1}(\lbrace i_1, \ldots, i_{j - 1}, \widehat{i_{j}}, i_{j + 1}, \ldots, i_p \rbrace)\text{-te Stelle}}}, 0, \ldots, 0).
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\end{align*}
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Die Natürlichkeit ist klar.
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\end{proof}
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@ -466,7 +473,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} sieht man, dass $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul ist.
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Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln.
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Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugt über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
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Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annulliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
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Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ erhält man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annulliert, also sind sie sogar endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
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Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen
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\begin{equation*}
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@ -24,7 +24,7 @@ Dazu Führen wir zunächst die Gruppe der \emph{Zykel} eines Rings ein.
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\begin{defn}
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\label{defn:gruppe-der-zykel-eines-rings-der-dimension}
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring der Dimension $n$.
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Für alle $p \in \N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
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Für alle $p \in\nobreak\N$ sei $Z_p(A)$ die Untergruppe von $Z(A)$, die von den Primidealen $\mfp \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfp) =~p$ erzeugt wird.
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Wir nennen $Z_p(A)$ die \textbf{Gruppe der Zykel} von $A$ der Dimension $p$.
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Offensichtlich gilt $Z(A) = \bigoplus_{p = 0}^n Z_p(A)$.
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\end{defn}
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@ -37,8 +37,8 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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\begin{proof}
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Lokalisieren liefert sofort $\Supp(N) = \Supp(M) \cup \Supp(P)$, also
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\begin{align*}
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\dim_A(N) &= \sup_{\mfp \in \Supp(N)} \dim(A / \mfp) \\
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&= \sup_{\mfp \in \Supp(M) \cup \Supp(P)} \dim(A / \mfp) \\
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||||
\dim_A(N) &= \sup\nolimits_{\mfp \in \Supp(N)} \dim(A / \mfp) \\
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||||
&= \sup\nolimits_{\mfp \in \Supp(M) \cup \Supp(P)} \dim(A / \mfp) \\
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&= \max(\dim_A(M), \dim_A(P)).\qedhere
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\end{align*}
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\end{proof}
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@ -50,10 +50,10 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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Sei weiter $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$.
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Dann ist $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
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Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$, für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
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||||
Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
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||||
\begin{proof}
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Ist $\mfq \notin \Supp(M)$, so gilt $M_\mfq = 0$ und damit $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = 0 < \infty$.
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||||
Ist $\mfp \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$:
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||||
Ist andererseits $\mfq \in \Supp(M)$, so gilt wegen $\dim_A(M) \le p$:
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||||
\begin{equation*}
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||||
\dim(A / \mfq) = p = \sup_{\mfp \in \Supp(M)} \dim(A / \mfp) = \dim_A(M)
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||||
\end{equation*}
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||||
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@ -105,18 +105,21 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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\end{align*}
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Diese Funktion ist wohldefiniert, denn es gibt nur endlich viele Primideale $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ und $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) \neq 0$.
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||||
Wir nennen $z_p(M)$ den zu $M$ gehörigen \textbf{Zykel} der Dimension $p$.
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||||
Da die Länge von $A$-Moduln additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist, ist es auch die Funktion $z_p$.
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||||
Ist $M \in K_{p - 1}(A)$ und $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$, so gilt $\mfq \notin \Supp(M)$, da $\dim(M) < p$.
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||||
Also folgt $z_p(M) = 0$ das heißt die funktion $z_p$ ist null auf ganz $K_{p - 1}(A)$.
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||||
\end{defn}
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||||
\begin{bem}
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||||
Ist $A$ ein noetherscher lokaler Integritätsring der Dimension $n$, so ist $\mfq = (0)$ das einzige Primideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = n$.
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||||
Folglich gilt $Z_n(A) \cong \Z$.
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||||
Ist $M \in K_n(A)$, so gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
z_n(M) = \length_{A_{(0)}}(M_{(0)}) = \dim_{\Quot(A)}(M \otimes_A \Quot(A)) = \rk(M).
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||||
\end{equation*}
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||||
\begin{bem}\leavevmode
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||||
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
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||||
\item Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring.
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||||
Da die Länge von $A$-Moduln additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist, ist es auch die Funktion $z_p$.
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||||
Ist $M \in K_{p - 1}(A)$ und $\mfq \in \Spec(A)$ mit $\dim(A / \mfq) = p$, so gilt $\mfq \notin \Supp(M)$, da $\dim(M) < p$.
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||||
Also folgt $z_p(M) = 0$, das heißt die Funktion $z_p$ ist null auf ganz $K_{p - 1}(A)$.
|
||||
\item Ist $A$ ein noetherscher lokaler Integritätsring der Dimension $n$, so ist $\mfq = (0)$ das einzige Primideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = n$.
|
||||
Folglich gilt $Z_n(A) \cong \Z$.
|
||||
Ist $M \in K_n(A)$, so gilt
|
||||
\begin{equation*}
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||||
z_n(M) = \length_{A_{(0)}}(M_{(0)}) = \dim_{\Quot(A)}(M \otimes_A \Quot(A)) = \rk(M).
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||||
\end{equation*}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{bem}
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\begin{defn}[Multiplizität eines Moduls]
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@ -124,6 +127,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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Sei $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$.
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||||
Ist $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul, dann gilt insbesondere $\length_A(M / \mfa M) < \infty$ und mit \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} folgt $\deg(P_\mfa(M)) = \dim(M)$.
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Wir nennen dann $e_\mfa(M) \coloneqq e_\mfa(M, \dim(M))$ die \textbf{Multiplizität} von $M$ bezüglich $\mfa$.
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Allgemeiner betrachten wir $e_\mfa(M, p)$ für $\dim(M) \le p$.
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Dies liefert uns eine Funktion
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\begin{align*}
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@ -185,7 +189,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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|||
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||||
Im Folgenden wollen wir das Verfahren der \emph{Reduktion auf die Diagonale} einführen.
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||||
Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, dann ist die algebraische Menge $V \cap W = V(I(V) + I(W))$ im allgemeinen nicht irreduzibel. Deswegen interessieren wir uns im Folgenden für eine irreduzible Komponente davon.
|
||||
Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, dann ist die algebraische Menge $V \cap W = V(I(V) + I(W))$ im Allgemeinen nicht irreduzibel. Deswegen interessieren wir uns im Folgenden für eine irreduzible Komponente davon.
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\begin{prop}
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||||
\label{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}
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@ -208,7 +212,8 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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|||
Sei $A$ ein Ring und $\mfp$ ein minimales Primideal von $A$.
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||||
Dann sind alle Elemente von $\mfp$ Nullteiler in $A$.
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\begin{proof}
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Ist $A = 0$, so ist die Aussage trivial, sei also im Folgenden $A \neq 0$.
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||||
Ist $A = 0$, so ist die Aussage trivial.
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||||
Sei also im Folgenden $A \neq 0$.
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||||
Ist $B \subset A$, so bezeichnen wir das Komplement von $B$ in $A$ mit $\overline{B}$.
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||||
Sei $\mcZ(A)$ die Menge der Nullteiler von $A$ und sei $S$ die multiplikative Menge $\overline{\mfp} \cdot \overline{\mcZ(A)}$.
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||||
Es gilt $0 \notin S$, denn sonst wäre $0 = ab$ mit $a \in \overline{\mfp}$ und $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
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||||
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@ -242,6 +247,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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|||
\begin{equation*}
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||||
B' \otimes_k B'' = k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_m] \cong k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m],
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\dim(B' \otimes_k B'') = n + m = \dim(B') + \dim(B'').
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -249,7 +255,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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|||
\begin{equation*}
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||||
a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0 = 0
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||||
\end{equation*}
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||||
mit gewissen $\alpha_i \in B'$.
|
||||
mit $\alpha_i \in B'$.
|
||||
Ist nun $b \in A''$, dann gilt
|
||||
\begin{align*}
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||||
& {(a \otimes b)}^r + {(\alpha_{r - 1} \otimes b)(a \otimes b)}^{r - 1} + \cdots + (\alpha_1 \otimes b^{r - 1})(a \otimes b) + \alpha_0 \otimes b^r \\
|
||||
|
|
@ -271,6 +277,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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|||
$K'$ ist als $L'$-Vektorraum frei und $K''$ ist als $L''$-Vektorraum frei.
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||||
Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, ist also $K' \otimes_k K''$ frei über $L' \otimes_k L''$.
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||||
Insbesondere ist $K' \otimes_k K''$ ein torsionsfreier $B' \otimes_k B''$-Modul.
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||||
|
||||
Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$.
|
||||
Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, ist $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$.
|
||||
Demnach gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
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||||
|
|
@ -297,7 +304,6 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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|||
erzeugt wird.
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||||
\item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\newpage
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||||
\begin{proof}\leavevmode
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||||
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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||||
\item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
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||||
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@ -380,7 +386,8 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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|||
Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch das Tripel $(A \otimes_k A; \mfd, \mfr)$. Dieses Verfahren wird \textbf{Reduktion auf die Diagonale} genannt. Es ist das algebraische Analogon zur Mengentheoretischen Formel $V \cap W = (V \times W) \cap \Delta$.
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||||
|
||||
Ist nämlich $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sind $U$ und $V$ algebraische Mengen in $\A_k^n$ und ist $\Delta$ die Diagonale in $\A^n_k \times_{\Spec(k)} \A^n_k \cong \A^{2n}_k$, dann gilt nach Definition $\Delta \cong \A^n_k$ und dieser Isomorphismus identifiziert $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$ mit $U \cap V$.
|
||||
Seien $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus
|
||||
|
||||
Wir wollen diese Aussage in algebraische Sprache zu übersetzen, also betrachten wir $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus
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||||
\begin{align*}
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||||
\phi \colon A \otimes_k A &\to A \\
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||||
a \otimes b &\mapsto ab
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||||
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|
@ -395,13 +402,13 @@ und
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|||
\begin{equation*}
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||||
(A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) / \mfd'
|
||||
\end{equation*}
|
||||
jeweils die Koordinatenringe von $U \cap V$ und $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$.
|
||||
Die obige Aussage übersetzt sich dann auf folgende Weise in algebraische Sprache:
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||||
jeweils die Koordinatenringe von $U \cap V$ und $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$ und es gilt
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||||
\begin{equation}
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||||
(A \otimes_k A) / \mfd \cong A
|
||||
\end{equation}
|
||||
und
|
||||
\begin{equation}
|
||||
A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd
|
||||
A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Ideal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
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||||
Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
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||||
|
|
@ -421,7 +428,7 @@ Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i \otimes 1 - 1 \otimes
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|||
\begin{equation*}
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||||
H^B_0(\bmX, B) = B / \mfd \cong A.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Mit \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} folgt also, dass $K^B(\bmX, B)$ eine $B$-freie und damit $B$-projektive Auflösung von $A$ ist.
|
||||
Nach \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} ist $K^B(\bmX, B)$ also eine $B$-freie und damit $B$-projektive Auflösung von $A$.
|
||||
Es folgt
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||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:tor-koszul}
|
||||
|
|
@ -471,7 +478,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
|
|||
&\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
|
||||
\end{align*}
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||||
\item\label{item:unabhaengig-von-filtrierung} Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
|
||||
\item\label{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} Wir haben kanonische Morphismen
|
||||
\item\label{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} Es gibt kanonische Morphismen
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -494,7 +501,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
|
|||
(M \hatotimes_k N) / \mfr (M \hatotimes_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
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||||
\end{equation*}
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||||
Weiter ist $A \hatotimes_k B$ noethersch und $M \hatotimes_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \hatotimes_k B)$-Modul.
|
||||
Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \hatotimes_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
|
||||
Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \hatotimes_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
|
||||
\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
|
||||
\begin{align*}
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||||
\cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
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||||
|
|
@ -536,11 +543,11 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
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|||
M / M_m \ar[r, two heads] & M / M'_l
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||||
\end{tikzcd}
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||||
\end{center}
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||||
offensichtlich kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
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||||
offensichtlich kommutativ und damit kommutiert auch
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||||
\begin{center}
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||||
\begin{tikzcd}
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||||
\Tor^k_i (M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
|
||||
\Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
|
||||
\Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n).
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{center}
|
||||
Wir definieren nun
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||||
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|
@ -604,15 +611,15 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
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|||
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||||
Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \hatotimes_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
|
||||
Folglich gilt:
|
||||
\begin{equation*}
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||||
\label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts}\tag{$\bigcirc$}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts}
|
||||
\begin{aligned}
|
||||
M \hatotimes_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
|
||||
&\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
|
||||
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
|
||||
&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Nun gilt offensichtlich
|
||||
\begin{equation*}
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||||
{(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p = \sum_{s + t = p} \mfm^s \otimes_k \mfn^t \supset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p.
|
||||
|
|
@ -647,7 +654,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
|
|||
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||||
Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ in $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$.
|
||||
Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$ für alle $a \in A \hatotimes_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \hatotimes_k B)$.
|
||||
Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \hatotimes_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
|
||||
Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \hatotimes_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
|
||||
\item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
|
||||
Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
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||||
\begin{gather*}
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||||
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@ -719,7 +726,7 @@ Dann haben wir eine Einbettung
|
|||
f \otimes g & \mapsto fg
|
||||
\end{align*}
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||||
(siehe {}\cite[Proposition~3.1]{bardavid11aneffective}) und das Bild von $\mfr$ unter dieser Einbettung ist offensichtlich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$.
|
||||
Desweiteren gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subset B$ und da Polynomringe und formale Potenzreihenringe flach sind, haben wir eine Injektion
|
||||
Zusätzlich gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subset B$ und da Polynomringe und formale Potenzreihenringe flach sind, haben wir eine Injektion
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] \hookrightarrow A \otimes_k B \hookrightarrow C,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -752,7 +759,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
\gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \hatotimes_k N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Ist $\mfm$ das eindeutige Maximalideal von $A$, so sind die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal, und es folgt
|
||||
Die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal und es folgt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
|
@ -774,7 +781,11 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
\cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \hatotimes_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \hatotimes_K N$.
|
||||
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, dann ist
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
{\left(\bigoplus_{p + q = n} K_p \hatotimes_k L_q\right)}_n
|
||||
\end{equation*}
|
||||
eine $C$-freie Auflösung von $M \hatotimes_K N$.
|
||||
Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
|
||||
Folglich gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
|
|
@ -806,7 +817,7 @@ von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel
|
|||
\begin{equation*}
|
||||
\chi(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
|
||||
\end{equation*}
|
||||
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \hatotimes_k N, n)$ des Ideal $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \hatotimes_k N$.
|
||||
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \hatotimes_k N, n)$ des Ideals $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \hatotimes_k N$.
|
||||
Folglich gilt:
|
||||
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
|
||||
\item $\chi(M, N) \ge 0$.
|
||||
|
|
@ -973,7 +984,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
|
|||
\end{equation*}
|
||||
zeigen.
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||||
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||||
Seien dazu $M$, $M'$ und $M''$ drei $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
|
||||
Seien dazu $M$, $M'$ und $M''$ drei $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und zusätzlich $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
|
||||
|
||||
Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für $\Tor$-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
|
||||
\begin{align}
|
||||
|
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@ -1011,7 +1022,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
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|||
und damit die gewünschte Assoziativitätsformel.
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||||
\item[Produktformel.]
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||||
Sei $X'$ eine weitere nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n'$ und $A'$ ihr Koordinatenring.
|
||||
Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und wir nehmen an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt
|
||||
Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und nehmen wir an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt
|
||||
\begin{equation}
|
||||
(z_1 \times z_1') \cdot (z_2 \times z_2') = (z_1 \cdot z_2) \times (z_1' \cdot z_2').
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
|
@ -1054,8 +1065,8 @@ Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ze
|
|||
\end{equation*}
|
||||
Nach {}\cite[s. 83]{samuel1967methodes} gilt aber $e_{\bmx}(A / \mfp_V) = i(X, U \cdot V, W)$ und das zeigt $I = i$ in diesem Fall.
|
||||
|
||||
Der allgemeine Fall reduziert sich auf diesen, indem wir die \emph{Reduktion auf die Diagonale} verwenden, denn sie ist sowohl für $i$, also auch für $I$ gültig.
|
||||
Da die Diagonale $\Delta$ nicht singulär ist, is sie lokal ein vollständiger Durchschnitt und die Voraussetzungen des vorherigen Falls sind erfüllt.
|
||||
Der allgemeine Fall reduziert sich auf diesen, indem wir die \emph{Reduktion auf die Diagonale} verwenden, denn diese ist sowohl für $i$ als auch für $I$ gültig.
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Da die Diagonale $\Delta$ nicht singulär ist, ist sie lokal ein vollständiger Durchschnitt und die Voraussetzungen des vorherigen Falls sind erfüllt.
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\end{proof}
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\section{Ausblick}
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@ -1072,7 +1083,7 @@ Die zweite Aussage des Theorems (die \emph{Dimensionsformel}) wurde von Serre so
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Die erste Aussage des Theorems (die Nichtnegativität von $\chi(M, N)$) wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
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Der Beweis benutzt komplexe Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
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Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
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Eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
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\begin{equation*}
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\dim(M) + \dim(N) < \dim(A) \Longrightarrow \chi(M, N) = 0,
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\end{equation*}
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@ -1152,13 +1163,13 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
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\begin{equation*}
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\Tor^A_i(M, N) = \Tor^C_i(A, M \hatotimes_k N),
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\end{equation*}
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wobei wir das Vervollständigte Tensorprodukte $M \hatotimes_k N$ durch die $\mfm$-adischen Filtrierungen auf $M$ und $N$ erhalten.
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wobei wir das vervollständigte Tensorprodukt $M \hatotimes_k N$ durch die $\mfm$-adischen Filtrierungen auf $M$ und $N$ erhalten.
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Außerdem gilt
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\begin{equation*}
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\dim(M \hatotimes_k N) = \dim(M) + \dim(N) - 1.
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\end{equation*}
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Sei $\mfd$ das von den Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ erzeugte Ideal von $C$.
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Da die Elementen $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
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Da die Elemente $X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n$ eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
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\begin{equation*}
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\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N)
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\end{equation*}
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@ -1167,11 +1178,11 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
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\chi(M, N) = e_\mfd(M \hatotimes_k N, n + 1)
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\end{equation*}
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und es folgt die Behauptung in diesem Fall.
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\item[$\pi$ annulliert $M$ und ist kein Nullteiler auf $N$.] Wenn wir den Ring $A$ nennen wollen, bezüglich dem $\chi(M, N)$ gebildet wird, so schreiben wir im Folgenden $\chi^A(M, N)$.
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\item[$\pi$ annulliert $M$ und ist kein Nullteiler auf $N$.] Wenn wir den Ring $A$, bezüglich dem $\chi(M, N)$ gebildet wird, angeben wollen, so schreiben wir im Folgenden $\chi^A(M, N)$.
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Sei $\overline{M} = M / \pi M$ und $\overline{A} = A / \pi A$.
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Wegen $\pi M = 0$ folgt $\overline{M} = M$, also ist $M$ auf kanonische Weise ein $\overline{A}$-Modul.
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Wir haben die \emph{Basiswechsel Spektralsequenz}
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Wir haben die \emph{Basiswechsel-Spektralsequenz}
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\begin{equation*}
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E^2_{p, q} = \Tor^{\overline{A}}_p(M, \Tor^A_q(\overline{A}, N)) \Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, N),
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\end{equation*}
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@ -21,7 +21,7 @@ In diesem Fall gilt dann
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\end{equation}
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wobei $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigen Koszul-Komplexes sind.
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In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden.
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In \cref{cha:multiplizitaeten} soll die $\Tor$-Formel untersucht werden.
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Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt.
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Die \emph{Reduktion auf die Diagonale} stellt für fast alle folgenden Ergebnisse ein sehr wichtiges Prinzip dar, deswegen wird sie beispielhaft im Fall affiner irreduzibler Varietäten erläutert.
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