saluu/Serres_Tor-Formel_und_Reduktion_auf_die_Diagonale
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Johannes Loher 2017-09-13 21:11:58 +02:00
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3
Ausarbeitung.tex
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@ -1,4 +1,4 @@
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@ -33,6 +33,7 @@
\include{chapters/chapter3}
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\printbibliography
\chapter*{Eigenständigkeitserklärung}

6
chapters/chapter2.tex
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@ -69,7 +69,7 @@
\begin{deflem}[Ganzzahliges Polynom]
\label{deflem:ganzzahliges-polynom}
Ein Polynom $f \in \Q[X]$ heißt \textbf{ganzzahlig}, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$.
\item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$.
\item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$.
@ -121,7 +121,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
\begin{lem}
\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$
\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$
\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
@ -146,7 +146,7 @@ Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
\label{sec:das-hilbert-polynom}
Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $H_0$ ist artinsch.
\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
\end{enumerate}

31
chapters/chapter3.tex
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@ -168,9 +168,11 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
K_p(\bmx) &= K_p(x_1) = 0 = \bigoplus_{\bmi \in I_p^1}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\right) && \text{für }p \notin \lbrace0, 1\rbrace
\end{align*}
Für die Randabbildung $d\colon K_1(x_1) \to K_0(x_1)$ im Grad $1$ gilt
\begin{equation*}
d(e_{x_{i_1}}) = x_1 \cdot 1 = {(-1)}^{1 + 1} x_1 \widehat{e_{x_{i_1}}}\otimes 1 = \sum_{k=1}^1 {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(1 - 1 + 1)\text{-mal}}.
\end{equation*}
\begin{align*}
d(e_{x_{i_1}}) &= x_1 \cdot 1 \\
&= {(-1)}^{1 + 1} x_1 \widehat{e_{x_{i_1}}}\otimes 1 \\
&= \sum_{k=1}^1 {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(1 - 1 + 1)\text{-mal}}.
\end{align*}
In den anderen Graden ist die Randabbildung nach \cref{defn:koszul-komplex-einfach} immer $0$ und auch die Formel aus \cref{eq:koszul-komplex-randabbildung} ergibt $0$.
Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung für alle $s\in \N$ mit $0 \le s < r$ bereits bewiesen.
@ -219,7 +221,10 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben:
\begin{equation}
\label{eq:koszul-komplex-modul-randabbildung}
d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes m) = \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes m
\begin{aligned}
&d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes m) \\
=&\sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes m
\end{aligned}
\end{equation}
Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$.
Wir bezeichnen mit $\bmx$ auch das Ideal $(x_1, \ldots,x_r)$.
@ -334,16 +339,24 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{prop}
\label{prop:koszul-homologie-annihilator}
$\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul.
Für alle $p \in \Z$ gilt dann $\bmx \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M))$ und $\Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M))$.
Sei $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul.
Für alle $p \in \Z$ gilt dann
\begin{equation*}
\bmx \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M))
\end{equation*}
und
\begin{equation*}
\Ann_A(M) \subset \Ann_A(H_i(\bmx, M)).
\end{equation*}
\begin{proof}
Sei $B = A[X_1, \ldots, X_r]$. Wir definieren eine $B$-Modul-Struktur auf $A$ durch $X_i a = 0$ für alle $a \in A$ und und eine $B$-Modul-Struktur auf $M$ durch $X_i m = x_i m$ für alle $m \in M$.
Nach \cref{lem:koszul-komplex-unabhaening-von-grundring} sind außerdem $K^A(\bmx, M)$ und $K^B(X_1, \ldots, X_r; M)$ als Komplexe abelscher Gruppen isomorph.
Da $(X_1, \ldots, X_r)$ eine reguläre Folge auf $M$ ist, folgt also
\begin{equation*}
H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M),
H_p(\bmx, M) \cong H_p(X_1, \ldots, X_r; M) \cong \Tor^B_p(B/(X_1, \ldots, X_R), M) \cong \Tor^B_p(A, M).
\end{equation*}
Die durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ auf $\Tor^B_p(A, M)$ gegebene $A$-Modulstruktur stimmt offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ überein, also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Ismomorphismus von $A$-Moduln.
Durch den Ringhomomorphismus $A \hookrightarrow B$ wird auf $\Tor^B_p(A, M)$ eine $A$-Modulstruktur definiert, die offensichtlich mit der $A$-Modulstruktur von $H_p(\bmx, M)$ übereinstimmt.
Also ist der obige Gruppenisomorphismus sogar ein Ismomorphismus von $A$-Moduln.
Insbesondere gilt für alle $a \in A$ mit $a \in \Ann_B(\Tor^B_p(A, M))$ auch $a \in \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
Nun gilt
\begin{align*}
@ -533,4 +546,4 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
\begin{proof}
Dies folgt direkt aus \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}.
\end{proof}
\end{kor}
\end{kor}

54
chapters/chapter4.tex
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@ -220,6 +220,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
\begin{equation*}
\mfq \subset \overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A).
\end{equation*}
Da $\mfp$ aber ein minimales Primideal ist, gilt bereits
\begin{equation*}
\mfp = \mfq \subset \mcZ(A).
@ -286,7 +287,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
\label{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale}
Sei $k$ ein Körper und $A$ eine $k$-Algebra.
Sei außerdem $C = A \otimes_k A$ und sei $\phi \colon C \to A$ der durch $\phi(a \otimes b) = ab$ definierte Homomorphismus. Dann gilt:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item Der Kern $\mfd$ von $\phi$ ist das Ideal von $C$, das von den Elementen der Form
\begin{equation*}
1 \otimes a - a \otimes 1, \qquad a \in A
@ -295,7 +296,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
\item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$.
Dann gilt:
@ -414,16 +415,17 @@ eine $B$-projektive Auflösung, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen
\begin{equation*}
\Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}).
\end{equation*}
Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i - 1 \otimes 1 - X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich bilden die $X_i - 1 \otimes 1 - X_i$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt
Im Fall $A = k[X_1, \ldots, X_n]$ ist $\mfd$ das von $X_i - 1 \otimes 1 - X_i$, $i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace$ erzeugte Ideal. Offensichtlich ist $\bmX = {(X_i - 1 \otimes 1 - X_i)}_{i \in \lbrace 1, \ldots, n \rbrace}$ eine $B$-reguläre Folge und es gilt
\begin{equation*}
H^B_0((X_i\otimes 1 - 1 \otimes X_i), B) = B / \mfd \cong A.
H^B_0(\bmX, B) = B / \mfd \cong A.
\end{equation*}
Mit \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} folgt also, dass $K^B((X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i), B)$ eine $B$-freie und damit $B$-projektive Auflösung von $A$ ist.
Mit \cref{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun} folgt also, dass $K^B(\bmX, B)$ eine $B$-freie und damit $B$-projektive Auflösung von $A$ ist.
Es folgt
\begin{equation}
\label{eq:tor-koszul}
\Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B K^B((X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i), B)) = H_n^B((X_i \otimes 1 - 1 \otimes X_i), M\otimes_k N).
\Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B K^B(\bmX, B)) = H_n^B(\bmX, M\otimes_k N).
\end{equation}
Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukte verallgemeinern.
\section{Vervollständigte Tensorprodukte}
@ -508,7 +510,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\end{equation*}
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
\item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$.
@ -535,8 +537,8 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
offensichtlich kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\Tor^k_i(M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
\Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
\Tor^k_i (M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
\Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
\end{tikzcd}
\end{center}
Wir definieren nun
@ -547,8 +549,8 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $m$, wie das folgende kommutative Diagramm zeigt:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \ar[r, "\phi_{m, n}"] \ar[dr, "\phi_{m', n}"'] & \Tor^k_i(M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
&\Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
\varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i (M / M_p, N / N_q) \ar[r, "\phi_{m, n}"] \ar[dr, "\phi_{m', n}"'] & \Tor^k_i (M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
&\Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
\end{tikzcd}
\end{center}
Ist nun $l' > l$, also $M'_l \subset M'_{l'}$, dann gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und damit ist das Diagramm
@ -561,9 +563,9 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \ar[d, "\phi_{m, n}"] \ar[ddl, bend right=15, "\psi_{l',n}"'] \ar[ddr, bend left=15, "\psi_{l,n}"] \\
& \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"'] \\
\Tor^k_i(M / M'_{l'}, N / N_n) \ar[rr] & & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
& \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i (M / M_p, N / N_q) \ar[d, "\phi_{m, n}"] \ar[ddl, bend right=15, "\psi_{l',n}"'] \ar[ddr, bend left=15, "\psi_{l,n}"] \\
& \Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"'] \\
\Tor^k_i (M / M'_{l'}, N / N_n) \ar[rr] & & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
\end{tikzcd}
\end{center}
Nach der Definition von $\alpha_{m, l, n}$ ist es offensichtlich, dass $\psi_{l,n}$ auch mit Variationen in $n$ kompatibel ist.
@ -618,7 +620,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{equation*}
\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2n} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}.
\end{equation*}
Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung $((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt
Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung ${((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))}_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt
\begin{equation*}
M \widehat{\otimes}_k N \cong \varprojlim_{p} (M \otimes_k N) / ({(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p(M \otimes_k N)).
\end{equation*}
@ -675,7 +677,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{equation*}
a_1^n N = a_1^{n+1} N
\end{equation*}
Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, folgt mit dem Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N =~0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, liefert das Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft.
Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$.
Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$.
@ -720,7 +722,7 @@ der offenbar dem Morphismus
\end{align*}
entspricht.
Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, also folgt bereits
Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$ bezüglich $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$, also folgt bereits
\begin{equation*}
A \widehat{\otimes}_k B \cong C.
\end{equation*}
@ -735,7 +737,7 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A).
\end{equation}
\begin{proof}
Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
Es sei nun $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus
@ -764,7 +766,7 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
\begin{equation*}
\cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
\end{equation*}
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.
Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
Dann gilt
\begin{equation*}
@ -780,7 +782,7 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
\section{Reguläre Ringe gleicher Charakteristik}
\label{regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
Sei nun wieder $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
Sei nun $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
\begin{equation*}
@ -820,15 +822,19 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
Dann gilt
\begin{enumerate}
\item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N)_\mfq) \ge 0$,
\item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$,
\item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$,
\item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
Da $A_\mfq$ regulär ist, gilt $\dim(A_\mfq) = \globdim(A_\mfq)$ und damit folgt $\Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) =~0$ für alle $i > \dim(A_\mfq)$.
Da $A_\mfq$ regulär ist, gilt $\dim(A_\mfq) = \globdim(A_\mfq)$ und damit folgt
\begin{equation*}
\Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) = 0
\end{equation*}
für alle $i > \dim(A_\mfq)$.
Durch Vervollständigung erhalten wir
\begin{equation*}
\Tor^A_i(M, N)_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) \cong \Tor^{\hat{A}_\mfq}_i(\hat{M}_\mfq, \hat{N}_\mfq).
{\Tor^A_i(M, N)}_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq) \cong \Tor^{\hat{A}_\mfq}_i(\hat{M}_\mfq, \hat{N}_\mfq).
\end{equation*}
Wegen $\dim(A) \ge \dim(A_\mfq)$ können wir also annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist.
Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$.
@ -874,7 +880,7 @@ Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, da
\begin{thm}
\label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
\item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
\end{enumerate}

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custom_commands.tex
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@ -22,6 +22,7 @@
\newcommand{\bmi}{\bm{i}}
\newcommand{\bmx}{\bm{x}}
\newcommand{\bmy}{\bm{y}}
\newcommand{\bmX}{\bm{X}}
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
\DeclareMathOperator{\Ch}{Ch}