saluu/Serres_Tor-Formel_und_Reduktion_auf_die_Diagonale
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@ -91,10 +91,10 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
{(M_i / M_{i - 1})}_{\mfr_i} = {(A / \mfr_i)}_{\mfr_i} = \Quot(A / \mfr_i) \neq 0,
\end{equation*}
also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$, also $\mfr_i \in \Supp(M)$.
Ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$, so haben wir oben bereits gesehen, dass $\mfr_i \subset \mfq$ gilt.
Ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$, so haben wir weiter oben bereits gesehen, dass $\mfr_i \subset \mfq$ gilt.
Aber wegen $\mfr_i \in \Supp(M)$ und weil $\mfq$ das einzige Primideal in $\Supp(M)$ ist, das in $\mfq$ enthalten ist, folgt bereits $\mfr_i = \mfq$.
Folglich gilt für alle ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$ bereits ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq = \Quot(A / \mfq)$ und insbesondere sind sie einfache $A_\mfq$-Moduln.
Durch Weglassen von gleichen Untermoduln erhalten wir also eine Kompositionsreihe von $M_\mfq$ über $A_\mfq$, deren Länge die Anzahl $k$ der Indizes $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfq$ ist.
Folglich gilt für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$ bereits ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq = \Quot(A / \mfq)$ und insbesondere sind sie einfache $A_\mfq$-Moduln.
Durch Weglassen von gleichen Untermoduln erhalten wir also eine Kompositionsreihe von $M_\mfq$ über $A_\mfq$, deren Länge gerade die Anzahl $k$ der Indizes $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfq$ ist.
Demnach gilt auch $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) = k$.
\end{proof}
\end{lem}
@ -194,7 +194,7 @@ Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebrais
Sei $k$ ein Körper.
Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$ und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, dann gilt
\begin{equation*}
\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W)
\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
\end{equation*}
Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt:
Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt
@ -233,13 +233,13 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
\begin{lem}
\label{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal}
Seien $A'$ und $A''$ integre endlich erzeugte $k$-Algebren.
Sei $k$ ein Körper und seien $A'$ und $A''$ integre endlich erzeugte $k$-Algebren.
Für jedes minimale Primideal $\mfp$ von $A' \otimes_k A''$ gilt dann
\begin{equation*}
\dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) = \dim(A' \otimes_k A'') = \dim(A') + \dim(A'').
\end{equation*}
\begin{proof}
Nach dem noetherschen Normalisierungssatz gibt es $B' = k[X_1, \ldots, X_n]$ und $B'' = k[Y_1, \ldots, Y_m]$ mit der Eigenschaft, $A'$ ganz über $B'$ und $A''$ ganz über $B''$ sind.
Nach dem noetherschen Normalisierungssatz gibt es $B' = k[X_1, \ldots, X_n]$ und $B'' = k[Y_1, \ldots, Y_m]$ mit der Eigenschaft, dass $A'$ ganz über $B'$ und $A''$ ganz über $B''$ ist.
Nach dem Going Up Theorem gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt
\begin{equation*}
B' \otimes_k B'' = k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_m] \cong k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m],
@ -270,11 +270,12 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
& 0 \ar[u] & 0 \ar[u]
\end{tikzcd}
\end{center}
Da $K'$ ist als $L'$-Vektorraum frei über $L'$ und $K''$ ist als $L''$-Vektorraum frei über $L''$.
$K'$ ist als $L'$-Vektorraum frei und $K''$ ist als $L''$-Vektorraum frei.
Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, ist also $K' \otimes_k K''$ frei über $L' \otimes_k L''$.
Insbesondere ist $K' \otimes_k K''$ ein torsionsfreier $B' \otimes_k B''$-Modul.
Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$.
Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$, also gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$.
Demnach gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei.
Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$.
Das Going Up Theorem liefert uns nun
@ -309,7 +310,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
&= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i - 1 \otimes a_i b_i \\
&= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i
\end{align*}
Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $a_i \otimes b_i$ erzeugten Ideal enthalten.
Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $1- a_i \otimes a_i - 1$ erzeugten Ideal enthalten.
\item Sind $a' \in \mfp'$ und $a'' \in \mfp''$, so gilt \begin{equation*}
\phi(a' \otimes 1 + 1 \otimes a'') = \phi(a' \otimes 1) + \phi(1 \otimes a'') = a' + a''.
\end{equation*}
@ -329,7 +330,6 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
\end{proof}
\end{lem}
Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} beweisen:
\begin{proof}[Beweis von \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}]
Sei $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $C = A \otimes_k A$, $D = A / \mfp' \otimes_k A / \mfp''$ und $\mfr = \mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$.
Sei außerdem $\phi$ wie in \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} und $\mfd$ der Kern von $\phi$.
@ -337,7 +337,7 @@ Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} be
\begin{equation*}
0 \to \mfr \to C \to D \to 0
\end{equation*}
Das Primideal $\mfP = \phi^{-1}(\mfp)$ ein minimales Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, denn $(0) \subset \mfp$ und angenommen $\mfP'$ ein Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, das in $\mfP$ enthalten ist, so gilt
Das Primideal $\mfP = \phi^{-1}(\mfp)$ ist ein minimales Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, denn $(0) \subset \mfp$ und angenommen $\mfP'$ ist ein Primideal in $V(\mfd + \mfr)$, das in $\mfP$ enthalten ist, so gilt
\begin{equation*}
\mfp = \phi(\mfP) \supset \phi(\mfP') \supset \mfp' + \mfp''.
\end{equation*}
@ -349,12 +349,12 @@ Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} be
Das Bild $\mfQ$ von $\mfP$ in $D$ ist also ein minimales Primideal in $V(\mfd')$.
Nach \cref{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale} wird $\mfd$ von den $n$ Elementen $1 \otimes X_i - X_i \otimes 1$ erzeugt.
Die minimale Anzahl von Erzeugern von $\mfd'$ ist also $\le n$ und, da $\mfQ$ ein minimales Primideal über $\mfd'$ ist, folgt $\height(\mfQ) \le n$.
Sei $\mfQ_0$ ein minimales primideal von $D$, das in $\mfQ$ enthalten ist, dann gilt $\height(\mfQ / \mfQ_0) \le n$.
Sei $\mfQ_0$ ein minimales Primideal von $D$, das in $\mfQ$ enthalten ist, dann gilt $\height(\mfQ / \mfQ_0) \le n$.
Nach \cref{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal} gilt
\begin{equation*}
\dim(D / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'').
\end{equation*}
Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist es auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfq_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer.
Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfq_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer.
Für Primideale $\mfq$ von $D/\mfQ_0$ gilt also
\begin{equation*}
\height(\mfq) + \dim((D / \mfQ_0) / \mfq) = \dim(D / \mfQ_0)
@ -429,12 +429,12 @@ Es folgt
\Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B K^B(\bmX, B)) = H_n^B(\bmX, M\otimes_k N).
\end{equation}
Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukte verallgemeinern.
Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf \emph{vervollständigte Tensorprodukte} verallgemeinern.
\section{Vervollständigte Tensorprodukte}
\label{sec:vervollständigte-tensorprodukte}
\begin{defn}[Vervollständigtes Tensorproduk]
\begin{defn}[Vervollständigtes Tensorprodukt]
\label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt}
Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
@ -495,7 +495,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
\end{equation*}
Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
\begin{align*}
\cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
@ -516,7 +516,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
\item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$.
Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (siehe {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$.
Sei
\begin{equation*}
\phi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n)
@ -551,7 +551,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
durch $\psi_{l, n} = \alpha_{m, l, n} \circ \phi_{m, n}$, wobei $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$.
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $m$, wie das folgende kommutative Diagramm zeigt:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\begin{tikzcd}[column sep = scriptsize]
\varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i (M / M_p, N / N_q) \ar[r, "\phi_{m, n}"] \ar[dr, "\phi_{m', n}"'] & \Tor^k_i (M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
&\Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
\end{tikzcd}
@ -567,7 +567,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i (M / M_p, N / N_q) \ar[d, "\phi_{m, n}"] \ar[ddl, bend right=15, "\psi_{l',n}"'] \ar[ddr, bend left=15, "\psi_{l,n}"] \\
& \Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"'] \\
& \Tor^k_i (M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"'] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"] \\
\Tor^k_i (M / M'_{l'}, N / N_n) \ar[rr] & & \Tor^k_i (M / M'_l, N / N_n)
\end{tikzcd}
\end{center}
@ -587,16 +587,16 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q)
\end{equation*}
und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind.
\item Die Morphismen $M \to M / M_p$ und $N \to N / N_q$ liefern wegen der universellen Eigenschaft des projektiven Limes die Morphismen $M \to \varprojlim\limits_p(M / M_p)$ und $N \to \varprojlim\limits_q(N / N_q)$ und wir erhalten einen Morphismus
\item Die Morphismen $M \to M / M_p$ und $N \to N / N_q$ liefern wegen der universellen Eigenschaft des projektiven Limes die beiden Morphismen $M \to \varprojlim\limits_p(M / M_p)$ und $N \to \varprojlim\limits_q(N / N_q)$ und wir erhalten einen Morphismus
\begin{equation*}
M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
\end{equation*}
wie gewünscht.
Die kanonischen Morphismen $\hat{M} \cong \varprojlim\limits_p (M / M_p) \to M / M_p$ und $\hat{N} \cong \varprojlim\limits_q (N / N_q) \to N / N_q$
Die Morphismen $\hat{M} \cong \varprojlim\limits_p (M / M_p) \to M / M_p$ und $\hat{N} \cong \varprojlim\limits_q (N / N_q) \to N / N_q$
liefern uns Morphismen
\begin{equation*}
\hat{M} \otimes_k \hat(N) \to M / M_p \otimes_k N / N_q
\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M / M_p \otimes_k N / N_q
\end{equation*}
und die universelle Eigenschaft des projektiven Limes liefert uns wie gewünscht den Morphismus
\begin{equation*}
@ -619,7 +619,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
{(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^p = \sum_{s + t = p} \mfm^s \otimes_k \mfn^t \supset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p.
\end{equation*}
Sind andererseits $s, t \in \N$ mit $s + t = 2p$, so gilt $s \ge p$ oder $t \ge p$ und damit folgt $\mfm^s \otimes_k \mfn^t \subset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p$, also
Sind andererseits $s, t \in \N$ mit $s + t = 2p$, so gilt $s \ge p$ oder $t \ge p$ und damit folgt $\mfm^s \otimes_k \mfn^t \subset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p$, also gilt
\begin{equation*}
\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2n} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}.
\end{equation*}
@ -646,9 +646,9 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ ind $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ in $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$.
Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
Demnach korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ zu den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
\item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
\begin{gather*}
@ -656,7 +656,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N), \\
\Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N)
\end{gather*}
Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist.
Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und es folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist (siehe {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA}).
\item Wegen
\begin{equation*}
\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = \varprojlim_{n}\widehat{\Tor}^k_i(M, N / \mfq^n N)
@ -672,7 +672,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{equation*}
0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_n(M, N).
\end{equation*}
Da $\length_k(N) < \infty$ wird die Kette
Wegen $\length_k(N) < \infty$ wird die Kette
\begin{equation*}
N \supset a_1 N \supset a_1^2 N \supset \cdots
\end{equation*}
@ -682,8 +682,11 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\end{equation*}
Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, liefert das Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft.
Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$.
Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$.
Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein
\begin{equation*}
0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)
\end{equation*}
mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$. Folglich gilt $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$ und dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$.
Im Fall $r > 1$ ist $\lbrace a_2, \ldots, a_r \rbrace$ eine $(M / a_1)$-Folge der Länge $r - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung angewendet auf $M / a_1$ folgt $\widehat{\Tor}^k_i(M / a_1, N)$ = 0 für alle $i > n - (r - 1)$.
Wir erhalten also aus \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1} die exakte Sequenz
@ -696,13 +699,13 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\end{prop}
\begin{bem}
Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn.
Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ gewählt werden.
Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
\end{bem}
Wir wollen nun den für uns wichtigsten Fall untersuchen, nämlich dass $k$ ein Körper ist, $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) =~0$ für $i > 0$, denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$ ist, wobei
Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$, wobei
\begin{equation*}
\mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
\end{equation*}
@ -717,7 +720,7 @@ Desweiteren gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subse
\begin{equation*}
k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] \hookrightarrow A \otimes_k B \hookrightarrow C,
\end{equation*}
der offenbar dem Morphismus
die offenbar dem Morphismus
\begin{align*}
k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] &\to C \\
f \otimes g & \mapsto fg
@ -731,7 +734,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
\begin{prop}
\label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring}
Sei $k$ ein Körper und sei $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$, und sei $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. Sei $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
Es sei $k$ ein Körper und $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$. Sei außerdem $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$ und $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
Dann gilt
\begin{equation}
@ -740,7 +743,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
\end{equation}
\begin{proof}
Es sei nun $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal in $C$ und wir statten $M$, $N$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus
\begin{equation*}
@ -770,7 +773,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
\end{equation*}
jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist ${(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)}_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$.
Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
Dann gilt
Folglich gilt
\begin{equation*}
K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A
\end{equation*}
@ -794,17 +797,17 @@ Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erha
Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$.
Außerdem ist auch
\begin{equation*}
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfd (M \widehat{\otimes}_k N) \cong M \widehat{\otimes}_k N \otimes C / \mfd \cong M \otimes_k N
(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfd (M \widehat{\otimes}_k N) \cong M \widehat{\otimes}_k N \otimes_C C / \mfd \cong M \otimes_A N
\end{equation*}
von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} ist dann die Euler-Poincaré-Charakteristik
\begin{equation*}
\chi(M, N) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
\end{equation*}
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$ bezüglich $\mfd$.
Folglich gilt
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des Ideal $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$.
Folglich gilt:
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $\chi(M, N) \ge 0$,
\item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$,
\item $\chi(M, N) \ge 0$.
\item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$.
\item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
\end{enumerate}
@ -815,13 +818,12 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
Ist $A$ ein Integritätsring, so nennen wir $A$ von \textbf{gleicher Charakteristik}, wenn für alle $\mfp \in \Spec(A)$ die Ringe $A$ und $A / \mfp$ die gleiche Charakteristik haben.
Ist $A$ ein regulärer Ring und $\mfp \in \Spec(A)$, so ist $A_\mfp$ ein regulärer lokaler Ring und damit ein Integritätsring (siehe {}\cite[Theorem~164]{kaplansky1974commutative}).
Wir nennen $A$ von gleicher Charakteristik, falls für alle $\mfp \in \Spec(A)$ der Ring $A_\mfp$ von gleicher Charakteristik ist.
Wir nennen $A$ von \textbf{gleicher Charakteristik}, falls für alle $\mfp \in \Spec(A)$ der Ring $A_\mfp$ von gleicher Charakteristik ist.
\end{defn}
\begin{thm}
\label{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}
Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik, seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln und sei $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
Dann gilt
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$,
@ -850,7 +852,7 @@ Sei $X$ eine algebraische Varietät über dem Körper $k$.
Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass $k$ algebraisch abgeschlossen und $X$ irreduzibel ist.
Seien $U$, $V$ und $W$ drei irreduzible Untervarietäten von $X$, wobei $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$ ist.
Wir nehmen zusätzlich an, dass der lokale Ring $A$ von $X$ bei $W$ regulär ist.
Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ nicht-leeren Schnitt mit der glatten Punkte von $X$ hat.
Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn der Schnitt von $W$ mit der Menge der glatten Punkte von $X$ nicht leer ist.
Seien $\mfp_U$ und $\mfp_V$ die Primideale des lokalen Rings $A$, die zu den Untervarietäten $U$ und $V$ gehören.
Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.
@ -897,7 +899,7 @@ Sei im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ un
Ist $a \in \N$ und $M \in K_a(A)$, so ist $z_a(M)$ ein positiver Zykel der Dimension $a$, der genau dann null ist, wenn $\dim(M) < a$.
Sei nun auch $b \in \N$.
Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$, so sagen wir, dass sich $\alpha$ und $\beta$ \textbf{eigentlich schneiden}, falls sich die zu $\mfp_i$ und $\mfq_j$ gehörenden irreduziblen Untervarietäten von $X$ für alle $i, j$ eigentlich schneiden.
Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$, so sagen wir, dass sich $\alpha$ und $\beta$ \textbf{eigentlich schneiden}, falls sich die zu $\mfp_i$ und $\mfq_j$ gehörigen irreduziblen Untervarietäten von $X$ für alle $i, j$ mit $n_i \neq 0$ und $m_j \neq 0$ eigentlich schneiden.
\begin{defn}[Schnittprodukt von Zykeln]
\label{defn:schnittprodukt-von-zykeln}
@ -940,7 +942,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}.
\item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind.
In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ mit $\codim(Y, X) = p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ der Kodimension $p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$.
Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzet werden.
\end{enumerate}
@ -968,7 +970,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
\end{equation*}
zeigen.
Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
Seien dazu $M$, $M'$ und $M''$ drei $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für $\Tor$-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
\begin{align}
@ -1009,7 +1011,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assozierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth Formel}:
Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth-Formel}:
\begin{equation*}
\Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
\end{equation*}
@ -1032,8 +1034,8 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zeigen.
\begin{proof}[Beweis des zweiten Teils von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}~\cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b}]
Wir müssen also zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen.
Dazu betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist, das heißt das Ideal $\mfp_U$ wird von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$.
Um zu zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen, betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist.
Das bedeutet, dass das Ideal $\mfp_U$ von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt wrid und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$. Die Familie
$\bmx = (x_1, \ldots, x_h)$ ist also eine $A$-reguläre Folge.
Nach \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} gilt also
\begin{equation*}
@ -1058,9 +1060,9 @@ Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakterist
Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~2]{serre2000local}).
Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
Die zweite Aussage des Theorems (die \enquote{Dimensionsformel}) wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
Die erste Aussage des Theorems (die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$) wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich