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eeaefbb533
5 changed files with 45 additions and 36 deletions
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@ -43,7 +43,7 @@
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\chapter*{Eigenständigkeitserklärung}
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Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
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Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und bisher keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt habe, und dass ich keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
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\vspace{1.5cm}
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\begin{tabular}{lp{2em}l}
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@ -1,7 +1,7 @@
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\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
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\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
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In diesem Kapitel wollen wir Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
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In diesem Kapitel wollen wir Samuels Begriff der Multiplizität eines Moduls bezüglich eines Ideals einführen.
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Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
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\section{Ganzzahlige Polynome}
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@ -493,7 +493,7 @@ Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Di
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Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv.
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Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz:
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\begin{equation*}
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0 \to M \overset{\cdot x} \to M \to M / xM \to 0
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0 \longrightarrow M \overset{\cdot x} \longrightarrow M \longrightarrow M / xM \longrightarrow 0
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\end{equation*}
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Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
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\begin{equation*}
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@ -218,12 +218,21 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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\allowdisplaybreaks
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\begin{align*}
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& d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}}) \\
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=&\pplus d(e_y{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1))\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\
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&+ {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes d(e_{x_{i_p}}) \\
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=& \pplus \left( \sum_{k=1}^{p - 1} {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\right) \otimes e_{x_{i_p}} \\
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& + {(-1)}^{p+1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes (x_{i_p} \cdot 1) \\
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=& \pplus \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
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& + {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
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=&
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\begin{aligned}[t]
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& d(e_y{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{((r - 1) - (p - 1))\text{-mal}}) \otimes e_{x_{i_p}} \\
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+& {(-1)}^{p + 1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes d(e_{x_{i_p}})
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\end{aligned}\\
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=&
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\begin{aligned}[t]
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& \left( \sum_{k=1}^{p - 1} {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\right) \otimes e_{x_{i_p}} \\
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+& {(-1)}^{p+1} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes (x_{i_p} \cdot 1)
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\end{aligned}\\
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=&
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\begin{aligned}[t]
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& \sum_{\substack{k=1\\k\ne p}}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \\
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+& {(-1)}^{p + 1} x_{i_p} e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_{p - 1}}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}
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\end{aligned}\\
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=& \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}}\qedhere
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\end{align*}
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\endgroup
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@ -323,7 +332,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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ein Funktor.
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Dieser ist exakt, denn ${K(\bmx)}_p$ ist der freie $A$-Modul vom Rang $\binom{r}{p}$ und damit insbesondere flach.
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Demnach ist ${(H_p(\bmx, \bullet) = H_p\circ K(\bmx,\bullet))}_{p \in \N}$ ein homologischer $\delta$-Funktor von $\Mod_A$ nach $\Mod_A$.
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Desweiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus
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Des Weiteren gibt es einen natürlichen Isomorphismus
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\begin{equation*}
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\psi_0 \colon H_0(\bmx, \bullet) \to (A/\bmx) \otimes_A \bullet
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\end{equation*}
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@ -419,7 +428,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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Sind beide Voraussetzungen gegeben, so stimmen die beiden Definitionen überein, da die Länge additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
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\end{defn}
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Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
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Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring, $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ ein Ideal von $A$ und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
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Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für alle Primideale $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
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Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$.
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Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$.
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@ -487,7 +496,7 @@ Im Folgenden wollen wir zeigen, dass die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ un
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\begin{equation*}
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0 \to F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j - 1}K \to 0
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\end{equation*}
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Dies liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz:
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Diese liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}[column sep=tiny]
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\cdots \ar[r] & H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \ar[r] & H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \ar[r] \ar[d, phantom, ""{coordinate, name=Z}]
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@ -48,7 +48,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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\label{lem:aufsteigende-folge-von-untermoduln-laenge}
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Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring und sei $M \in K_p(A)$.
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Sei weiter $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$.
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Dann ist $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
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Dann gilt $\length_{A_\mfq}(M_\mfq) < \infty$.
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Ist $0 = M_0 \subset \ldots \subset M_s = M$ eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$ mit $M_i / M_{i - 1} \cong A / \mfr_i$ für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ für gewisse $\mfr_i \in \Spec(A)$, dann sind genau $\length_{A_\mfq}(M_\mfq)$ dieser $M_i / M_{i - 1}$ von der Form $A / \mfq$.
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\begin{proof}
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@ -87,7 +87,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
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\begin{equation*}
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{(M_i / M_{i - 1})}_{\mfr_i} = {(A / \mfr_i)}_{\mfr_i} = \Quot(A / \mfr_i) \neq 0,
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\end{equation*}
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also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$, also $\mfr_i \in \Supp(M)$.
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also folgt für alle $j \ge i$ induktiv ${M_j}_{\mfr_i} \neq 0$ und insbesondere $M_{\mfr_i} \neq 0$ und demnach $\mfr_i \in \Supp(M)$.
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Ist ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$, so haben wir weiter oben bereits gesehen, dass $\mfr_i \subset \mfq$ gilt.
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Aber wegen $\mfr_i \in \Supp(M)$ und weil $\mfq$ das einzige Primideal in $\Supp(M)$ ist, das in $\mfq$ enthalten ist, folgt bereits $\mfr_i = \mfq$.
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Folglich gilt für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, s \rbrace$ mit ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq \neq 0$ bereits ${M_i}_\mfq / {M_{i - 1}}_\mfq = \Quot(A / \mfq)$ und insbesondere sind sie einfache $A_\mfq$-Moduln.
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@ -281,7 +281,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$.
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Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, ist $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$.
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Demnach gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
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Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei.
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Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $(B' \otimes_k B'')$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei.
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Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$.
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Das \emph{Going Up Theorem} liefert uns nun
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\begin{align*}
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@ -359,12 +359,12 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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\begin{equation*}
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\dim(D / \mfQ_0) = \dim(A / \mfp') + \dim(A / \mfp'').
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\end{equation*}
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Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfq_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer.
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Da $D$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra ist, ist auch $D / \mfQ_0$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra, und da $\mfQ_0$ prim ist, ist $D / \mfQ_0$ sogar integer.
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Für Primideale $\mfq$ von $D/\mfQ_0$ gilt also
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\begin{equation*}
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\height(\mfq) + \dim((D / \mfQ_0) / \mfq) = \dim(D / \mfQ_0)
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\end{equation*}
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(vergleiche {}\cite[Chapter~III, Part~D, Proposition~15]{serre2000local}).
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(siehe {}\cite[Chapter~III, Part~D, Proposition~15]{serre2000local}).
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Insbesondere gilt
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\begin{equation*}
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\height(\mfQ / \mfQ_0) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim((D / \mfQ_0)/(\mfQ / \mfQ_0)) = \dim(D / \mfQ_0) - \dim(D / \mfQ).
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@ -387,7 +387,7 @@ Der obige Beweis basiert auf dem Ersetzen des Tripels $(A; \mfp', \mfp'')$ durch
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Ist nämlich $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sind $U$ und $V$ algebraische Mengen in $\A_k^n$ und ist $\Delta$ die Diagonale in $\A^n_k \times_{\Spec(k)} \A^n_k \cong \A^{2n}_k$, dann gilt nach Definition $\Delta \cong \A^n_k$ und dieser Isomorphismus identifiziert $(U \times_{\Spec(k)} V) \cap \Delta$ mit $U \cap V$.
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Wir wollen diese Aussage in algebraische Sprache zu übersetzen, also betrachten wir $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus
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Wir wollen diese Aussage in algebraische Sprache übersetzen, also betrachten wir $A = k[X_1, \ldots, X_n]$, $U = V(\mfp)$, $V = V(\mfq)$ und $\Delta = \Spec((A \otimes_k A) / \mfd)$, wobei $\mfd$ der Kern des surjektiven Homomorphismus
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\begin{align*}
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\phi \colon A \otimes_k A &\to A \\
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a \otimes b &\mapsto ab
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@ -410,7 +410,7 @@ und
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\begin{equation}
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A / \mfp \otimes_A A / \mfq \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} A \cong (A / \mfp \otimes_k A / \mfq) \otimes_{(A \otimes_k A)} (A \otimes_k A) / \mfd.
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\end{equation}
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Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$, $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Ideal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
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Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ eine $k$-Algebra, $B = A \otimes_k A$ und $\mfd$ das von $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in A$ erzeugte Ideal in $B$ und seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln.
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Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
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Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen
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\begin{equation}
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@ -420,7 +420,7 @@ Ist also
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\begin{equation*}
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\cdots \to L_1 \to L_0 \to A \to 0
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\end{equation*}
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eine $B$-projektive Auflösung, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen
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eine $B$-projektive Auflösung von $A$, dann erhalten wir natürliche Isomorphismen
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\begin{equation*}
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\Tor^A_n(M, N) \cong H_n((M \otimes_k N) \otimes_B L_{\bullet}).
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\end{equation*}
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@ -627,7 +627,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
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Sind andererseits $s, t \in \N$ mit $s + t = 2p$, so gilt $s \ge p$ oder $t \ge p$ und damit folgt $\mfm^s \otimes_k \mfn^t \subset \mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p$, also gilt
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\begin{equation*}
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\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2n} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}.
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\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p \supset \sum_{s + t = 2p} \mfm^s \otimes_k \mfn^t = {(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)}^{2p}.
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\end{equation*}
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Demnach sind die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Filtrierung auf $M \otimes_k N$ und die Filtrierung ${((\mfm^p \otimes_k B + A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N))}_p$ kofinal und mit \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-ist-vervollstaendigung-des-tensorprodukts} folgt
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\begin{equation*}
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@ -646,11 +646,11 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
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(M \hatotimes_k N) / \mfr (M \hatotimes_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
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\end{equation*}
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Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
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Weiter gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
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Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \hatotimes_k B)$-Modul.
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Folglich sind $\mfr$ und $M \hatotimes_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
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Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \hatotimes_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
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Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \hatotimes_k B$ ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
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Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ in $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$.
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Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \hatotimes_k B)}^\times$ für alle $a \in A \hatotimes_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \hatotimes_k B)$.
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@ -670,10 +670,10 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten $k$-Moduln an:
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genügt es die Behauptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen.
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Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$.
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Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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\label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1}\tag{$\ast$}
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\begin{equation}
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\label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1}
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0 \longrightarrow M \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} M \to M / a_1 M \to 0
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\end{equation*}
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\end{equation}
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wegen \cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} die exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_n(M, N).
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@ -759,7 +759,7 @@ Nun ist aber $C$ die Vervollständigung von $k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_
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\begin{equation*}
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\gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \hatotimes_k N).
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\end{equation*}
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Die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfm)$-adische Filtrierung offenbar kofinal und es folgt
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Die $\mfs$-adische Filtrierung und die $(\mfm \hatotimes_k B + A \hatotimes_k \mfm)$-adische Filtrierung sind offenbar kofinal und es folgt
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\begin{equation*}
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\gr(M \hatotimes_k N) \cong \gr(M \otimes_k N).
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\end{equation*}
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@ -808,7 +808,7 @@ Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erha
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\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \hatotimes_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \hatotimes_k N)
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\end{equation*}
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Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$.
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Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so ist es auch $\Tor^A_i(M, N)$.
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Außerdem ist auch
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\begin{equation*}
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(M \hatotimes_k N) / \mfd (M \hatotimes_k N) \cong M \hatotimes_k N \otimes_C C / \mfd \cong M \otimes_A N
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@ -817,7 +817,7 @@ von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel
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\begin{equation*}
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\chi(M, N) \coloneqq \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
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\end{equation*}
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gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \hatotimes_k N, n)$ des Ideals $\mfd$ bezüglich des $C$-Moduls $M \hatotimes_k N$.
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gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \hatotimes_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \hatotimes_k N$ bezüglich des Ideals $\mfd$.
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Folglich gilt:
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item $\chi(M, N) \ge 0$.
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@ -904,7 +904,7 @@ Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, da
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\end{enumerate}
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\end{thm}
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Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \emph{Schnittmultiplizität} erfüllt.
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Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} beweisen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \emph{Schnittmultiplizität} erfüllt.
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\section{Zykel auf einer nicht singulären affinen Varietät}
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\label{sec:zykel-auf-einer-nicht-singulaeren-affinen-varietaet}
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@ -920,7 +920,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
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Seien $a, b \in \N$, $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$ zwei Zykel die sich eigentlich schneiden, das heißt für jedes minimale Primideal $\mfr$ in $\Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)$ gilt $\dim(A/\mfr) = c = a + b - \dim(X)$.
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Dann definieren wir das \textbf{Schnittprodukt} von $\alpha$ und $\beta$ durch
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\begin{equation*}
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\alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \left(\sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A)\right).
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\alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \left(\sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr\right) \in Z_c(A).
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\end{equation*}
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\end{defn}
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@ -937,7 +937,7 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
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\end{equation*}
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überein.
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\begin{proof}
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Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die zu dem Primideal $\mfr$ von $A$ korrespondiert.
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Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die dem Primideal $\mfr$ von $A$ entspricht.
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Nach Definition ist der Koeffizient des Primideals $\mfr$ im Zykel $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch
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\begin{equation*}
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\sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_{A_\mfr}({\Tor^A_i(M, N)}_\mfr) = \chi^{A_\mfr}(M_\mfr, N_\mfr)
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@ -1041,7 +1041,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
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\end{equation}
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zeigen.
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Wir können wieder annehmen, dass $z_1$ und $z_2$ positiv sind.
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Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren.
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Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die mit den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren.
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Dann gilt nach \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
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\begin{equation*}
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\Tor^A_i(M_1, M_2) = \Tor^B_i(M_1 \otimes_k M_2, A).
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@ -1236,7 +1236,7 @@ Dazu zeigen wir zunächst, dass das Verfahren der Reduktion auf die Diagonale un
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wobei die Ungleichheit genau dann echt ist, wenn $\chi^{\overline{A}}(M, N / \pi N) = 0$.
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Wegen $\dim_A(M) = \dim_{\overline{A}}(M)$ und $\dim_{\overline{A}}(N / \pi N) = \dim_A(N / \pi N) = \dim_A(N) - 1$ folgt die Behauptung in diesem Fall.
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\item[$\pi$ annulliert $M$ und $N$.] Wie im vorherigen Fall betrachten wir $M$ als $\overline{A}$-Modul.
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Die lange exakte Sequenz, die wir aus der Basiswechsel Spektralsequenz erhalten haben, liefert uns nun
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Die lange exakte Sequenz, die wir aus der Basiswechsel-Spektralsequenz erhalten haben, liefert uns nun
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\begin{equation*}
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\chi^A(M, N) = \chi^{\overline{A}}(M, N / \pi N) - \chi^{\overline{A}}(M, \prescript{}{\pi}{N}).
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\end{equation*}
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@ -7,13 +7,13 @@ Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \emph{$\ITor$-Formel} deswegen für d
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Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings bleiben etliche Resultate unerwähnt, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
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Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
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\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuels Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
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\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuels Begriff der Multiplizität eines eines endlich erzeugten Moduls $M$ bezüglich Ideals $\mfq$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
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Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
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Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Moduls gerade der Dimension des Moduls entspricht.
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Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
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Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
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Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls~$M$. Dabei muss die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen.
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Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des über dem noetherschen lokalen Ring $A$ endlich erzeugten Moduls $M$ bezüglich des Ideals $\mfq$ von $A$. Dabei muss die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllt sein.
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In diesem Fall gilt dann
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\begin{equation}
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\label{eq:einleitung-samuel-koszul}
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