{\huge\bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
{\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
{\Large von}\\[0.2cm]
{\LARGE\bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
{\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
\begin{tabular}{lr}
\large Betreuer: &\large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
\large Gutachter: &\large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
\end{tabular}
\vfill
{\large\today}
\end{center}
\end{titlepage}
\tableofcontents
\chapter{Einleitung}
\label{cha:einleitung}
\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
\section{Polynomartige Funktionen}
\label{sec:polynomartige-funktionen}
Im Folgenden sei $A =\Z$ oder $A =\{z \in\Z\mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0\in\Z$.
\begin{defn}
\label{defn:polynomartige-funktionen}
Eine Funktion $f\colon A \to\Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in\Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt: Es gibt ein $m \in\Z$ mit der Eigenschaft $f(n)= P_f(n)$ für alle $n \ge m$. Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt. Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
\end{defn}
\begin{defn}
\label{defn:differenzenoperator}
Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator}$\Delta$ durch:
\begin{align*}
\Delta\colon\map(A,\Z) &\to\map(A,\Z)\\
f &\mapsto (\Delta f \colon A \to\Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
\end{align*}
\end{defn}
\begin{lem}
\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
Sei $f\colon A \to\Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
\begin{enumerate}[(i)]
\item$f$ ist polynomartig vom Grad $r$
\item$\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r -1$
\item Für alle $s \ge r +1$ gibt es ein $m \in\Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n)=0$.
\item$H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
\end{enumerate}
Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist. Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
Sei $M =\bigoplus_{n \in\N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul. $M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n}\coloneqq\bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt. Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul. Es gilt
also ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch. Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
\begin{thm}[Hilbert]
\label{thm:hilbert-polynomial}
Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
\begin{proof}
Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
Im Fall $r =0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge. Es gilt $M_n =0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-\infty$.
Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r -1$ bereits gezeigt wurde. Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$. Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die exakten Sequenzen:
Wegen $X_r R = X_r N =0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten. Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$. Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r -1$.
Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$. Offensichtlich gilt $Q(M)=0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
\end{nota}
\section{Das Samuel-Polynom}
\label{sec:das-samuel-polynom}
Sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$. Wir nehmen zusätlich Folgendes an:
\begin{equation}
\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
\length_A(M/\mfq M) < \infty.
\end{equation}
Dies ist äquivalent zu:
\begin{equation}
\label{eq:elemente-in-supp}
\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
\end{equation}
Der Fall, der uns im Folgenden am meisten interessiert, ist, dass $A$ lokal mit maximalem Ideal $\mfm$ ist und $\mfq$ ein Ideal von $A$ mit $\mfm\supset\mfq\supset\mfm^s$ für ein $s > 0$.
Sei $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
Wegen $V(\mfq)= V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset\mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$. Demnach ist die Abbildung
Wir können $\Ann(M)=0$ annehmen: Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$. Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n)=\length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M)=0$.
Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch. Sei \begin{equation*}
H = \gr_{\mfq}(A) = \bigoplus_{n\in\N}\mfq^n/\mfq^{n+1}
\end{equation*}
der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring. Dann ist
\begin{equation*}
\gr(M) = \bigoplus_{n\in\N} M_n/M_{n+1}
\end{equation*}
ein graduierte $H$-Modul. Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in\N$ mit $M_{n+1}=\mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
\begin{equation*}
M_0/M_1 \oplus\cdots\oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
\end{equation*}
erzeugt und ist demnach endlich erzeugt. %TODO: Wieso?
Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig. Es gilt
Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wirdim Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet. Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$. Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$. Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben. Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n)- P((M_i), n)\ge0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M)- P((M_i))$ muss $\ge0$ sein.
