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@ -86,9 +86,28 @@
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@article{cohen46onthestructure,
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title={On the structure and ideal theory of complete local rings},
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author={Cohen, Irvin Sol},
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author={Cohen, Irvin S.},
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year={1946},
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volume={59},
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pages={54 - 106},
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journal={Transactions of the American Mathematical Society},
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}
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@book{samuel1967methodes,
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title={Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique},
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author={Samuel, Pierre},
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series={Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete},
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year={1967},
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publisher={Springer Berlin Heidelberg}
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}
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@article{roberts1998recent,
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title={Recent developments on Serre’s multiplicity conjec-
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tures},
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author={Roberts, Paul C.},
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subtitle={Gabber’s proof of the nonnegativity conjecture},
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year={1998},
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volume={44},
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pages={305 - 324},
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journal={L’Enseignement Mathématique}
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}
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@ -3,6 +3,9 @@
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\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
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\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
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In diesem Kapitel wollen Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Moduls bezüglich eines Ideal einführen.
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Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
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\section{Ganzzahlige Polynome}
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\label{sec:ganzzahlige-polynome}
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@ -17,7 +20,10 @@
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\begin{defn}[Differenzenoperator]
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\label{defn:differenzenoperator}
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Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ induktiv, das heißt aus $n \in A$ folgt $n + 1 \in A$.
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Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ mit der Eigenschaft
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\begin{equation*}
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n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
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\end{equation*}
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Dann definieren wir den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
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\begin{align*}
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\Delta\colon \map(A,Z) &\to \map(A,Z)\\
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@ -107,7 +113,10 @@ Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sod
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\section{Polynomartige Funktionen}
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\label{sec:polynomartige-funktionen}
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Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
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Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
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\begin{equation*}
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n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
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\end{equation*}
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\begin{defn}[Polynomartige Funktion]
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\label{defn:polynomartige-funktionen}
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@ -154,7 +163,7 @@ Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_
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Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
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Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
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$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
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$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
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Es gilt $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul.
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Es gilt
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\begin{align*}
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@ -421,7 +430,7 @@ Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M
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Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist.
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Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen.
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Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen.
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\begin{prop}
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\label{prop:d-kleinergleich-s}
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@ -2,6 +2,10 @@
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\chapter{Der Koszul-Komplex}
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\label{cha:der-koszul-komplex}
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Wir geben nun einen Überblick über Koszul-Komplexe.
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Das Hauptresultat dieses Kapitels ist ein Theorem, dass es uns ermöglich Samuel’s Multiplizität mit Hilfe der Euler-Poincaré-Chaakteristik eines bestimmten Koszul-Komplexes zu berechnen.
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Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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\section{Der einfache Fall}
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@ -3,6 +3,9 @@
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\chapter{Multiplizitäten}
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\label{cha:multiplizitaeten}
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In diesem Kapitel wollen wir die Serre’s Schnittmultiplizität von Zykeln mit Hilfe der $\Tor$-Formel definieren und insbesondere auch das Hauptresultat zu dieser Formel beweisen.
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Als äußerst wichtiges Werkzeug dazu werden wir das Prinzip der \emph{Reduktion auf die Diagonale} vorstellen.
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\section{Die Multiplizität eines Moduls}
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\label{sec:die-multiplizitaet-eines-moduls}
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Im Folgenden wollen wir den Begriff der \emph{Multiplizität} eines Moduls einführen.
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@ -405,7 +408,7 @@ Diese Formel verallgemeinert sich auf folgende Weise: Sei $k$ ein Körper, $A$ e
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Dann ist $B / \mfd$ eine zu $A$ isomorphe $k$-Algebra und $A$ erhält dadurch eine $B$-Modulstruktur.
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Die Assoziativitätsformel des $\Tor$-Funktors (siehe {}\cite[Chapter~IX, Theorem~2.8]{cartan1956homological}) liefert uns die natürlichen Isomorphismen
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\begin{equation}
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\Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N).
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\Tor^B_n(M \otimes_k N, A) \cong \Tor^A_n(M, N). \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
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\end{equation}
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Ist also
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\begin{equation*}
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@ -874,14 +877,196 @@ Nach \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} folgt also au
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und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V) - \dim(W)$ folgt damit
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\begin{equation}
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\label{eq:dimension-intersection}
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\dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W).
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||||
\dim(U) + \dim(V) \le \dim(X) + \dim(W).
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\end{equation}
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Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
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\begin{thm}
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\label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
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||||
\item Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
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\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
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\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ eigentlich schneiden, so ist $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) > 0$ und stimmt mit der Schnitt-Multiplizität $i(X, U \cdot V, W)$ von $U$ und $V$ in $W$ im Sinne von Samuel überein.
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\end{enumerate}
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\end{thm}
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\end{thm}
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Offensichtlich folgen \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} und der erste Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} aus \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}. Den zweiten Teil von \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b} zeigen wir, nachdem wir gezeigt haben, dass die Funktion $I(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V)$ die formalen Eigenschaften einer \enquote{Schnittmultiplizität} erfüllt.
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\section{Zykel auf einer nicht singulären affinen Varietät}
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\label{sec:zykel-auf-einer-nicht-singulaeren-affinen-varietaet}
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Sei im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
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Ist $a \in \N$ und $M \in K_a(A)$, so ist $z_a(M)$ ein positiver Zykel der Dimension $a$, der genau dann null ist, wenn $\dim(M) < a$.
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Sei nun auch $b \in \N$.
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Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$, so sagen wir, dass sich $\alpha$ und $\beta$ \textbf{eigentlich schneiden}, falls sich die zu $\mfp_i$ und $\mfq_j$ gehörenden irreduziblen Untervarietäten von $X$ für alle $i, j$ eigentlich schneiden.
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\begin{defn}[Schnittprodukt von Zykeln]
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\label{defn:schnittprodukt-von-zykeln}
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Seien $a, b \in \N$, $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j \in Z_b(A)$ zwei Zykel die sich eigentlich schneiden, das heißt für jedes minimale Primideal $\mfr$ in $\Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)$ gilt $\dim(A/\mfr) = c = a + b - \dim(X)$.
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Dann definieren wir das \textbf{Schnittprodukt} von $\alpha$ und $\beta$ durch
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\begin{equation*}
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\alpha \cdot \beta \coloneqq \sum_{i, j} n_i m_j \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp_i \otimes_A A / \mfq_j)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp_i)}_\mfr, {(A / \mfq_j)}_\mfr) \mfr \in Z_c(A).
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\end{equation*}
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\end{defn}
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\begin{prop}
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\label{prop:schnitt-zykel}
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Seien $a, b, c \in \N$ mit $a + b = n + c$. Seien $M$ und $N$ zwei $A$-Moduln mit $\dim(M) \le a$, $\dim(N) \le b$ und $\dim(M \otimes_A N) \le c$.
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Die Zykel $z_a(M)$ und $z_b(N)$ schneiden sich eigentlich und der Schnittzykel
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\begin{equation*}
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z_a(M) \cdot z_b(N) = \sum_{\substack{\dim(A / \mfp) = a \\ \dim(A / \mfq) = b}} \length_{A_\mfp}(M_\mfp) \length_{A_\mfq}(N_\mfq) \sum_{\substack{\mfr \in \Supp(A / \mfp \otimes_A A / \mfq)\\\text{ minimal}}} \chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_\mfr, {(A / \mfq)}_\mfr) \mfr
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\end{equation*}
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stimmt mit dem Zykel
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\begin{equation*}
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z_c(\Tor^A(M, N)) \coloneqq \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^{i} z_c(\Tor^A_i(M, N))
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\end{equation*}
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überein.
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\begin{proof}
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Sei $W$ eine irreduzible Komponente von $X$ der Dimension $c$, die zu dem Primideal $\mfr$ von $A$ korrespondiert.
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Nach Definition ist der Koeffizient des Primideals $\mfr$ im Zykel $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch
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\begin{equation*}
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\sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_{A_\mfr}({\Tor^A_i(M, N)}_\mfr) = \chi^{A_\mfr}(M_\mfr, N_\mfr)
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\end{equation*}
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gegeben.
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Dieser Koeffizient ist also \enquote{biadditiv} in $M$ und $N$ und nach \cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} in \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} ist er null, falls $\dim(M) < a$ oder $\dim(N) < b$.
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Das gleiche gilt offensichtlich auch für den Koeffizienten von $\mfr$ in $z_a(M) \cdot z_b(N)$.
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Wir können uns also auf den Fall $M = A / \mfp$ und $N = A / \mfq$ beschränken, wobei $\mfp$ und $\mfq$ Primideale von $A$ sind, die irreduziblen Untervarietäten $U$ und $V$ von $X$ der Dimensionen $a$ und $b$ entsprechen.
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In diesem Fall ist der Koeffizient von $\mfr$ in $z_c(\Tor^A(M, N))$ durch $\chi^{A_\mfr}({(A / \mfp)}_{\mfr}, {(A / \mfq)}_{\mfr})$ gegeben.
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\end{proof}
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\end{prop}
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\begin{bem}
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\begin{enumerate}
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\item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen:
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Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
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Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}.
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\item Wir können den Begriff der Zykel und \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} auf algebraische Varietäten erweitern, die nicht notwendigerweise affin sind.
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In diesem Fall ersetzen wir Primideale $\mfp$ von $A$ mit $\dim(A / \mfq) = p$ durch irreduzible Untervarietäten von $X$ mit $\codim(Y, X) = p$ und $A$-Moduln durch \emph{kohärente $\mcO_X$-Modulgarben}, wobei $\mcO_X$ die Strukturgarbe von $X$ ist.
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Ist $\mcM$ solch eine Modulgarbe mit $\dim(\Supp(\mcM)) \le a$ (was wir manchmal auch als $\dim(\mcM) \le a$ schreiben), so definieren wir auf offensichtliche Weise den Zykel $z_a(\mcM) \in Z_a(X)$.
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Auch \cref{prop:schnitt-zykel} gilt dann, wobei die Moduln $\Tor^A_i(M, N)$ durch die Garben $\mcTor^{\mcO_X}_i(\mcM, \mcN)$ ersetzet werden.
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\end{enumerate}
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\end{bem}
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\section{Eigenschaften des Schnittprodukts}
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\label{sec:eigenschaften-des-schnittprodukts}
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In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass das Schnittprodukt aus \cref{defn:schnittprodukt-von-zykeln} die Fundamentalen Eigenschaften der Schnitttheorie erfüllt.
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Da diese Eigenschaften alle lokal sind, können wir annehmen, dass die Varietäten affin und nicht singulär sind.
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Dies ermöglicht es uns \cref{prop:schnitt-zykel} anzuwenden.
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Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n$ und $A$ ihr Koordinatenring.
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\begin{description}
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\item[Kommutativität]
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Dies ist offensichtlich, denn die Bifunktoren $\Tor^A_i(\bullet, \bullet)$ sind symmetrisch.
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\item[Assoziativität]
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Seien $z$, $z'$ und $z''$ drei positive Zykel der Dimensionen $a$, $a'$ und $a''$.
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Wir nehmen an, dass die Schnittprodukte $z \cdot z'$, $(z \cdot z') \cdot z''$, $z' \cdot z''$ und $z \cdot (z' \cdot z'')$ definiert sind.
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Dann müssen wir
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\begin{equation*}
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(z \cdot z') \cdot z'' = z \cdot (z' \cdot z'')
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\end{equation*}
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zeigen.
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Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
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||||
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||||
Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für Tor-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
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\begin{align}
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||||
\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\
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||||
\Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz}
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||||
\end{align}
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||||
Sei $c = a + a' + a'' - 2n$ und $b = a' + a'' - n$.
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Da die Schnitte eigentlich sind, gilt $\dim(M' \otimes_A M'') \le b$ und $\dim(M \otimes_A M' \otimes_A M'') \le c$.
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Demnach sind die folgenden Zykel wohldefiniert:
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\begin{align*}
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||||
y_q &= z_b(\Tor^A_q(M', M'')) \\
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||||
x_{p,q} &= z_c(\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M''))) \\
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||||
x_i &= z_c(\Tor^A_i(M, M', M''))
|
||||
\end{align*}
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||||
Da Euler-Poincaré-Charakteristiken unter Spektralsequenzen invariant sind, erhalten wir aus \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz}:
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\begin{equation*}
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||||
\sum_{i} {(-1)}^i x_i = \sum_{p,q} {(-1)}^{p+q} x_{p, q}
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||||
\end{equation*}
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||||
Aber \cref{prop:schnitt-zykel} zeigt
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\begin{equation*}
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||||
\sum_{p} {(-1)}^p x_{p, q} = z \cdot y_q \quad \text{und} \quad \sum_{q} {(-1)}^q y_q = z' \cdot z''.
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||||
\end{equation*}
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||||
Folglich gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
\sum_{i} {(-1)}^i x_i = z \cdot (z' \cdot z'').
|
||||
\end{equation*}
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||||
Wenden wir das gleiche Argument mit \cref{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz} an, so erhalten wir
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\begin{equation*}
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||||
\sum_{i} {(-1)}^i x_i = (z \cdot z') \cdot z'',
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||||
\end{equation*}
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und damit die gewünschte Assoziativitätsformel.
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\item[Produktformel]
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||||
Sei $X'$ eine weitere nicht singuläre affine Varietät der Dimension $n'$ und $A'$ ihr Koordinatenring.
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Seien $z_1$ und $z_2$ (beziehungsweise $z_1'$ und $z_2'$) zwei Zykel auf $X$ (beziehungsweise $X'$) und wir nehmen an, dass $z_1 \cdot z_2$ und $z_1' \cdot z_2'$ definiert sind. Dann schneiden sich $z_1 \times z_1'$ und $z_2 \times z_2'$ eigentlich auf $X \times_{\Spec(k)} X'$ und es gilt
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||||
\begin{equation}
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||||
(z_1 \times z_1') \cdot (z_2 \times z_2') = (z_1 \cdot z_2) \times (z_1' \cdot z_2').
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||||
\end{equation}
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||||
Um dies zu zeigen, können wir annehmen, dass die Zykel positiv sind.
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Seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren und seien $M_1'$ und $M_2'$ zwei $A'$-Moduln, die zu den Zykel $z_1'$ und $z_2'$ korrespondieren.
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||||
Man prüft leicht, dass der zum $(A \otimes_k A')$-Modul $M_1 \otimes_k M_1'$ assozierte Zykel gleich $z_1 \times z_1'$ (tatsächlich kann man dies als Definition des Produkts von Zykeln verwenden).
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||||
Die Produktformel, die wir zeigen wollen, folgt dann aus der \enquote{Künneth Formel}:
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||||
\begin{equation*}
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||||
\Tor^{A \otimes_k A'}_h(M_1 \otimes_k M_1', M_2 \otimes_k M_2') = \bigoplus_{i + j = h} \Tor^A_i(M_1, M_2) \otimes_k \Tor^{A'}_j(M_1', M_2').
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||||
\end{equation*}
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\item[Reduktion auf die Diagonale]
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Sei $\Delta$ die Diagonale in $X \times_{\Spec(k)} X$.
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Sind $z_1$ und $z_2$ zwei Zykel auf $X$, die sich eigentlich schneiden, so müssen wir die Formel
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\begin{equation}
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||||
z_1 \cdot z_2 = (z_1 \times z_2) \cdot \Delta \label{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt}
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||||
\end{equation}
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zeigen.
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||||
Wir können wieder annehmen, dass $z_1$ und $z_2$ positiv sind.
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Sei $B = A \otimes_k A$ der Koordinatenring von $X \times_{\Spec(k)} X$ und seien $M_1$ und $M_2$ zwei $A$-Moduln, die zu den Zykeln $z_1$ und $z_2$ korrespondieren.
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Dann gilt nach \cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-affiner-fall}
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\begin{equation*}
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\Tor^A_i(M_1, M_2) = \Tor^B_i(M_1 \otimes_k M_2, A).
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\end{equation*}
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\cref{eq:reduktion-auf-die-diagonale-schnittprodukt} folgt dann durch Bilden der alternierenden Summe der Zykel auf beiden seiten der obigen Gleichung.
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\end{description}
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Wir wollen nun den Rest von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zeigen.
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\begin{proof}[Beweis des zweiten Teils von \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}~\cref{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-b}]
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Wir müssen also zeigen, dass die Funktionen $I$ und $i$ übereinstimmen.
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Dazu betrachten wir zunächst den Fall, dass $U$ ein vollständiger Durchschnitt in $W$ ist, das heißt das Ideal $\mfp_U$ wird von $h$ Elementen $x_1, \ldots, x_h$ erzeugt und es gilt $h = \dim(X) - \dim(U) = \dim(V) - \dim(W)$.
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$\bmx = (x_1, \ldots, x_h)$ ist also eine $A$-reguläre Folge.
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Nach \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor} gilt also
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\begin{equation*}
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\chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)}{(-1)}^i \length_A(H_i(\bmx, A / \mfp_V))
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\end{equation*}
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und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} liefert uns
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\begin{equation*}
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\chi^A(A / \mfp_U, A / \mfp_V) = e_{\bmx}(A / \mfp_V).
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\end{equation*}
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Nach {}\cite[s. 83]{samuel1967methodes} gilt aber $e_{\bmx}(A / \mfp_V) = i(X, U \cdot V, W)$ und das zeigt $I = i$ in diesem Fall.
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Der allgemeine Fall reduziert sich auf diesen, indem wir die \emph{Reduktion auf die Diagonale} verwenden, denn sie ist sowohl für $i$, also auch für $I$ gültig.
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Da die Diagonale $\Delta$ nicht singulär ist, is sie lokal ein vollständiger Durchschnitt und die Voraussetzungen des vorherigen Falls sind erfüllt.
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\end{proof}
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\section{Ausblick}
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\label{sec:Ausblick}
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Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet} zu beweisen.
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Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt.
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Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt.
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Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~2]{serre2000local}).
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Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~3]{serre2000local}).
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Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
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Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.
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Die eine Implikation der dritten Aussage des Theorems, nämlich
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\begin{equation*}
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\dim(M) + \dim(N) < \dim(A) \Longrightarrow \chi(M, N) = 0,
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\end{equation*}
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wurde für den Fall beliebiger regulärer Ringe 1985 von Paul C. Roberts gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998multiplicities}).
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Die Frage, ob die umgekehrte Implikation ebenfalls gilt, ist bis heute ein offenes Problem.
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@ -24,6 +24,11 @@
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\newcommand{\bmy}{\bm{y}}
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\newcommand{\bmX}{\bm{X}}
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\newcommand{\mcM}{\mathcal{M}}
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\newcommand{\mcN}{\mathcal{N}}
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\newcommand{\mcO}{\mathcal{O}}
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\DeclareMathOperator{\mcTor}{\mathcal{T}\!\mathit{or}}
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\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
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\DeclareMathOperator{\Ch}{Ch}
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\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
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