Künneth-Formel für Koszul-Komplexe und Korollar hinzugefügt

chapters/chapter2.tex

@@ -107,7 +107,7 @@ Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sod
 
 Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
 
-\begin{defn}
+\begin{defn}[Polynomartige Funktion]
 	\label{defn:polynomartige-funktionen}
 	Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
 	Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.

chapters/chapter3.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\chapter{Der Koszul Komplex}
+\chapter{Der Koszul-Komplex}
 \label{cha:der-koszul-komplex}
 Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 
@@ -37,6 +37,87 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 	\end{align*}
 \end{defn}
 
+\begin{prop}[Künneth-Formel für Koszul-Komplexe]
+	\label{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe}
+	Sei $x \in A$ und $L$ ein Komplex von $A$-Moduln.
+	Dann ist für jedes $p \ge 0$ die Sequenz
+	\begin{equation*}
+		0 \to H_0(x,H_p(L)) \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to H_1(x, H_{p - 1}(L)) \to 0
+	\end{equation*}
+	exakt.
+	\begin{proof}
+		Die natürliche Einbettung $A \to K(x)$ liefert eine Einbettung von Komplexen
+		\begin{equation*}
+			L = A \otimes_A L \to K(x) \otimes_A L.
+		\end{equation*}
+		Außerdem erhalten wir durch die natürliche Projektion $K(x) \to K_1(x) = A$ einen Epimorphismus von Komplexen
+		\begin{equation*}
+			K(x) \otimes_A L \to L[-1],
+		\end{equation*}
+		der uns insgesamt die kurze exakte Sequenz
+		\begin{equation*}
+			0 \to L \overset{i}{\to} K(x) \otimes_A L \overset{p}{\to} L[-1] \to 0
+		\end{equation*}
+		liefert.
+		Also erhalten wir folgende lange exakte Homologiesequenz:
+		\begin{equation*}
+			\cdots \overset{\partial}{\to} H_p(L) \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to H_p(L[-1]) \overset{\partial}{\to} H_{p - 1}(L) \to \cdots
+		\end{equation*}
+		Es gilt
+		\begin{align*}
+			{(K(x) \otimes_A L)}_p &= \bigoplus_{i + j = p} K_i(x) \otimes_A L_j \\
+			&= K_0(x) \otimes_A L_p \oplus K_1(x) \otimes_A L_{p -1}
+		\end{align*}
+		und die Randabbildung $d\colon {(K(x) \otimes_A L)}_p \to {(K(x) \otimes_A L)}_{p - 1}$ ist durch
+		\begin{align*}
+			d(x_0 \otimes y_p + x_1 \otimes y_{p - 1}) &= d(x_0) \otimes y_p + x_0 \otimes d(y_p) + d(x_1) \otimes y_{p - 1} - x_1 \otimes d(y_{p - 1})\\
+			&= x_0 \otimes d(y_p) + x \cdot x_0 \otimes y_{p - 1} - x_1 \otimes d(y_{p - 1})
+		\end{align*}
+		gegeben.
+		Ist $[c] \in H_p(L[-1])$, so gilt $\partial([c]) = [d(\hat{c})] \in H_{p - 1}(L)$, wobei $\hat{c}$ ein Element aus ${(K(x) \otimes_A L)}_p$ mit $p(\hat{c}) = c$ ist.
+		Ohne Einschränkung sei $\hat{c} = 0 + e_x \otimes c$.
+		Wegen $c \in Z_p(L[-1])$ folgt dann
+		\begin{align*}
+			\partial([c]) = [d(\hat{c})] = [d(0 + e_x \otimes c)] = [x \cdot e_x \otimes c - e_x \otimes d(c)] = x[e_x \otimes c],
+		\end{align*}
+		also ist $\partial \colon (H_{p - 1}(L) = H_p(L[-1])) \to H_{p - 1}(L)$ durch die Multiplikation mit $x$ gegeben.
+		Demnach erhalten wir aus der langen exakten Homologiesequenz die folgenden kurzen exakten Sequenzen:
+		\begin{equation*}
+			0 \to X_p \to H_p(K(x) \otimes_A L) \to Y_{p - 1} \to 0
+		\end{equation*}
+		Dabei sind $X_p$ und $Y_p$ durch
+		\begin{alignat*}{3}
+			X_p &= \coker(\cdot x\colon H_p(L) \to H_p(L)) &= H_0(x, H_p(L)) \\
+			Y_p &= \ker(\cdot x\colon H_p(L) \to H_p(L)) &= H_1(x, H_p(L)) 
+		\end{alignat*}
+		gegeben.
+	\end{proof}
+\end{prop}
+
+\begin{defn}[azyklischer Komplex]
+	\label{defn:azyklischer-komplex}
+	Sei $M$ ein $A$-Modul und $L$ ein Komplex von $A$-Moduln mit $L_p = 0$ für $p < 0$.
+	Dann heißt $L$ \textbf{azyklischer Komplex} auf $M$, falls $H_p(L) = 0$ für $p > 0$ und $H_0(L) = M$, also falls
+	\begin{equation*}
+		\cdots \to L_1 \to L_0 \to M \to 0
+	\end{equation*}
+	eine Auflösung von $M$ ist.
+\end{defn}
+
+\begin{kor}
+	\label{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex}
+	Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler in $M$, also $\Ann_M(x) = 0$.
+	Dann ist $K(x) \otimes_A L$ ein azyklischer Komplex auf $M/xM$.
+	\begin{proof}
+		Aus \cref{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe} folgt:
+		\begin{align*}
+			H_p(K(x) \otimes_A L) &= 0 \qquad \text{für } p > 1 \\
+			H_1(K(x) \otimes_A L) &= H_1(x,M) = \Ann_M(x) = 0 \\
+			H_0(K(x) \otimes_A L) &= H_0(x,M) = M/xM
+		\end{align*}	
+	\end{proof}
+\end{kor}
+
 \begin{defn}
 	\label{defn:koszul-komplex}
 	Sei $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$.
@@ -139,3 +220,13 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 		H_r(\bmx, M) &= \lbrace m \in M \mid x_i m = 0 \text{ für alle } i \rbrace
 	\end{align*}
 \end{defn}
+
+\begin{prop}
+	\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
+	Wenn zusätzlich zu den Voraussetzunen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
+	\begin{proof}
+		Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler in $M$ ist.
+
+		Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$.
+	\end{proof}
+\end{prop}

custom_commands.tex

@@ -18,6 +18,7 @@
 \DeclareMathOperator{\gr}{gr}
 \DeclareMathOperator{\map}{map}
 \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
+\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
 \DeclareMathOperator{\pplus}{\phantom{+}}
 \DeclareMathOperator{\poplus}{\phantom{\oplus}}
 \DeclareMathOperator{\peq}{\phantom{=}}

theorem_environments.tex

@@ -5,8 +5,8 @@
 \newtheorem{deflem}[thm]{Definition/Lemma}
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{defn}[thm]{Definition}
-\newtheorem{nota}[thm]{Notation}
-\newtheorem{bem}[thm]{Bemerkung}
+\newtheorem*{nota}{Notation}
+\newtheorem*{bem}{Bemerkung}
 
 \crefname{thm}{Theorem}{Theoreme}
 \crefname{prop}{Proposition}{Propositionen}