reguläre Ringe gleicher Charakteristik hinzugefügt

bibliography.bib

@@ -66,3 +66,29 @@
   pages={873 - 882},
   journal={International Journal of Algebra},
 }
+
+@article{auslander59unique,
+  title={Unique factorization in regular local rings},
+  author={Auslander, Maurice and Buchsbaum, David Alvin},
+  year={1959},
+  volume={45},
+  pages={733 – 734},
+  journal={Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America},
+}
+
+@book{kaplansky1974commutative,
+  title={Commutative Rings},
+  author={Kaplansky, Irving},
+  series={Chicago Lectures in Mathematics},
+  year={1974},
+  publisher={University of Chicago Press}
+}
+
+@article{cohen46onthestructure,
+  title={On the structure and ideal theory of complete local rings},
+  author={Cohen, Irvin Sol},
+  year={1946},
+  volume={59},
+  pages={54 - 106},
+  journal={Transactions of the American Mathematical Society},
+}

chapters/chapter4.tex

@@ -707,13 +707,104 @@ Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollstän
     Sei $k$ ein Körper und sei $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$, und sei $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. Sei $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
     Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
     Dann gilt 
-    \begin{equation*}
+    \begin{equation}
+        \label{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe}
         \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A).
-    \end{equation*}
+    \end{equation}
     \begin{proof}
         Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
         Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
         Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
-
+        Der natürliche Morphismus $M \otimes_k N \to M \widehat{\otimes}_k N$ induziert einen Morphismus
+        \begin{equation*}
+            \gr(M) \otimes_k \gr(N) \to \gr(M \widehat{\otimes}_k N).
+        \end{equation*}
+        Dieser ist bijektiv, %TODO: Beweis?
+        also gilt %TODO: Wie folgt das?
+        \begin{equation*}
+            \dim(M \widehat{\otimes}_k N) = \dim(M) + \dim(N)
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            e_\mfs(M \widehat{\otimes}_k N, \dim(M) + \dim(N)) = e_\mfq(M, \dim(M)) \cdot e_{\mfq'}(N, \dim(N)).
+        \end{equation*}
+        Sind
+        \begin{equation*}
+            \cdots \to K_1 \to K_0 \to M \to 0
+        \end{equation*}
+        und
+        \begin{equation*}
+            \cdots \to L_1 \to L_0 \to N \to 0
+        \end{equation*}
+        jeweils eine $A$-freie und eine $B$-freie Auflösung von $M$ und $N$, so ist $(\sum_{p + q = n} K_p \widehat{\otimes}_k L_q)_n$ eine $C$-freie Auflösung von $M \widehat{\otimes}_K N$. %TODO: Warum?
+        Sei $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$, dann gilt offenbar $A \cong C / \mfd$.
+        Dann gilt %TODO: Warum?
+        \begin{equation*}
+            K_p \otimes_A L_q \cong (K_p \widehat{\otimes}_k L_q) \otimes_C A
+        \end{equation*}
+        und wir erhalten die Formel für der Reduktion auf die Diagonale:
+        \begin{equation*}
+            \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A)
+        \end{equation*}
     \end{proof}
-\end{prop}
+\end{prop}
+
+\section{Reguläre Ringe gleicher Charakteristik}
+\label{regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
+
+Sei nun wieder $k$ ein Körper, $A = k[[X_1, \ldots, X_n]]$, $C = A \widehat{\otimes}_k A = k[[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ und $\mfd = (X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n) \subset C$.
+Seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
+Da die Elemente $X_j - Y_j$ offensichtlich eine $C$-reguläre Folge bilden, erhalten wir mit \cref{eq:reduktipn-auf-die-diagonale-potenzreihe} und \cref{kor:isomorphie-koszul-homologie-tor}:
+\begin{equation*}
+    \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(C / \mfd, M \widehat{\otimes}_k N) \cong H_i^C((X_1 - Y_1, \ldots, X_n - Y_n), M \widehat{\otimes}_k N)
+\end{equation*}
+
+Ist $M \otimes_A N$ von endlicher Länge, so auch $\Tor^A_i(M, N)$.
+Außerdem ist auch
+\begin{equation*}
+    (M \widehat{\otimes}_k N) / \mfd (M \widehat{\otimes}_k N) \cong M \widehat{\otimes}_k N \otimes C / \mfd \cong M \otimes_k N
+\end{equation*}
+von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom} ist dann die Euler-Poincaré-Charakteristik
+\begin{equation*}
+    \chi(M, N) = \sum_{i = 0}^n {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N))
+\end{equation*}
+gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$ bezüglich $\mfd$.
+Folglich gilt
+\begin{enumerate}
+    \item $\chi(M, N) \ge 0$,
+    \item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$,
+    \item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
+\end{enumerate}
+
+Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgemeinern.
+
+\begin{defn}[Regulärer Ring gleicher Charakteristik]
+    \label{defn:regulaere-ringe-gleicher-charakteristik}
+    Ist $A$ ein Integritätsring, so nennen wir $A$ von \textbf{gleicher Charakteristik}, wenn für alle $\mfp \in \Spec(A)$ die Ringe $A$ und $A / \mfp$  die gleiche Charakteristik haben.
+
+    Ist $A$ ein regulärer Ring und $\mfp \in \Spec(A)$, so ist $A_\mfp$ ein regulärer lokaler Ring und damit ein Integritätsring (siehe {}\cite[Theorem~164]{kaplansky1974commutative}).
+    Wir nennen $A$ von gleicher Charakteristik, falls für alle $\mfp \in \Spec(A)$ der Ring $A_\mfp$ von gleicher Charakteristik ist.
+\end{defn}
+
+\begin{thm}
+    \label{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik}
+    Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
+    Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
+    Dann gilt
+    \begin{enumerate}
+        \item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A(\Tor^A_i(M, N)_\mfq)$,
+        \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$,
+        \item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
+    \end{enumerate}
+    \begin{proof}
+        Durch Vervollständigung erhalten wir %TODO: Wieso?
+        \begin{equation*}
+            \Tor^A_i(M, N)_\mfq \cong \Tor^{A_\mfq}_i(M_\mfq, N_\mfq),
+        \end{equation*}
+        Also können wir annehmen, dass $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfq$ ist. %TODO: Warum ist \dim(A) = \dim(A_\mfq)?
+        Nach \emph{Cohens Struktursatz} (siehe {}\cite[Theorem~15]{cohen46onthestructure}) ist $A$ dann isomorph zu $k[[X_1, \ldots, X_n]]$, wobei $k = A / \mfq$ und $n = \dim(A)$ und dann folgt die Behauptung, wie wir weiter oben gesehen haben.
+    \end{proof}
+\end{thm}
+
+\section{Die $\BTor$-Formel}
+\label{sec:die-tor-formel}

custom_commands.tex

@@ -39,6 +39,8 @@
 \DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
 \DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
 
+\DeclareMathOperator{\BTor}{\mathbf{Tor}}
+
 \DeclareMathOperator{\pplus}{\phantom{+}}
 \DeclareMathOperator{\poplus}{\phantom{\oplus}}
 \DeclareMathOperator{\peq}{\phantom{=}}