Theorem Euler-Charakteristik = Höchster Koeffizient vom Samuel-Polynom
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@ -372,13 +372,27 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
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\section{Die Filtrierung eines Koszul-Komplexes}
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\label{sec:die-filtrierung-eines-koszu-komplexes}
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Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sein im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
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\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik]
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\label{defn:euler-poincare-charakteristik}
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Sei $A$ ein Ring und $K$ ein beschränkter Komplex von $A$-Moduln.
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Ist $\length_A(K_p) < \infty$ für alle $p \in \Z$, so definieren wir die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} von $K$ durch
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\begin{equation*}
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\chi(K) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A(K_p).
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\end{equation*}
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Ist $\length_A(H_p(K)) < \infty$ für alle $p \in \Z$, so definieren wir sie durch
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\begin{equation*}
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\chi(K) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A(H_p(K)).
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\end{equation*}
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Sind beide Voraussetzungen gegeben, so stimmen die beiden Definitionen überein, da die Länge additiv auf kurzen exakten Sequenzen ist.
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\end{defn}
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Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sei im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
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Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
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Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$.
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Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$.
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\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik]
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\label{defn:euler-poincare-charakteristik}
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\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik des Koszulkomplexes]
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\label{defn:euler-poincare-charakteristik-des-koszul-komplexes}
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Wir definieren die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} zu $(\bmx, M)$ durch
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\begin{equation*}
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\chi(\bmx, M) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \length_A(H_p(\bmx, M)).
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@ -396,4 +410,112 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
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\begin{thm}
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\label{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}
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Es gilt $\chi(\bmx, M) = e_{\bmx}(M, r)$.
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\begin{proof}
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Wir gehen in mehreren Schritten vor:
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\begin{enumerate}
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-1} Sei $K = K(\bmx, M)$. Wir definieren eine absteigende Filtrierung auf $K$ durch
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\begin{equation*}
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{(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p.
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\end{equation*}
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Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-gute Filtrierung von $K$.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring.
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Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$.
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Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$.
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Sei $\gr(M)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $M$ gehörige graduierte $\gr(A)$-Modul.
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\gr(K) \coloneqq \bigoplus_{i \in \Z} F^i K / F^{i + 1} K \cong K(\bmy, \gr(M)),
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\end{equation*}
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denn
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\begin{align*}
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{\gr(K)}_p &= \bigoplus_{i \in \Z}{(F^i K)}_p / {(F^{i + 1} K)}_p \\
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&= \bigoplus_{i \in \Z} x^{i - p}K_p / x^{i + 1 - p}K_p \\
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&= \bigoplus_{i \in \Z} x^i K_p / x^{i + 1}K_p \\
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&\cong \bigoplus_{i \in \Z} x^i M^{\binom{r}{p}} / x^{i + 1} M^{\binom{r}{p}} \\
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&\cong {\left(\bigoplus_{i \in \Z} x^i M / x^{i + 1} M \right)}^{\binom{r}{p}} \\
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&= {\gr(M)}^{\binom{r}{p}} \\
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&\cong K_p(\bmy, \gr(M))
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\end{align*}
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und dieser Isomorphismus ist offensichtlich kompatibel mit den Randabbildungen der beiden Komplexe.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-3} Weil $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul ist, ist $\gr(M)$ ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul.
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Also sind auch die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ endlich erzeugte $\gr(A)$-Moduln.
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Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt $\bmy \subset \Ann_{\gr(A)}(H_p(\bmy, \gr(M)))$, also sind sie sogar endlich erzeugte Moduln über $\gr(A) / \bmy \cong A / \bmx$.
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Aus obiger Darstellung von $K_p(\bmy, \gr(M))$ sieht man, dass $\Ann_A(M)$ die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ annuliert, also sind sie sogar als endlich erzeugte $(A/(\bmx + \Ann_A(M)))$-Moduln.
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Nach dem gleichen Argument, das wir bereits für die Wohldefiniertheit der Euler-Poincaré-Charakteristik verwendet haben, folgt dann, dass die Homologiemoduln $H_p(\bmy, \gr(M))$ alle endliche Länge haben.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} Da $H_p(\bmy, \gr(M)) = 0$ für $p \notin \lbrace 0, \ldots, r \rbrace$ und wegen
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\begin{equation*}
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H_p(\bmy, \gr(M)) = \bigoplus_{i \in \Z} H_p(F^i K / F^{i + 1}K)
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\end{equation*}
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gibt es also ein $m \ge 0$ mit der Eigenschaft, dass $H_p(F^i K / F^{i + 1}K) = 0$ für alle $i > m$ und alle $p \in \Z$. Ohne Einschränkung können wir $m \ge r$ annehmen.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} Wir zeigen nun $H_p(F^i K / F^{i + j} K) = 0$ für alle $p \in \Z$, $i > m$ und $j \ge 0$ durch Induktion über $j$:
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Im Fall $j = 0$ ist die Behauptung trivial.
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Sei also nun $j \ge 1$ und die Behauptung für $j - 1$ bereits gezeigt.
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Wir betrachten folgende kurze exakte Sequenz von Komplexen:
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\begin{equation*}
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0 \to F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j}K \to F^{i}K / F^{i + j - 1}K \to 0
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\end{equation*}
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Dies liefert uns folgende lange exakte Homologiesequenz:
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\begin{align*}
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\cdots &\to H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to H_p(F^{i}K / F^{i + j - 1}K) \to \\
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& \to H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) \to \cdots
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\end{align*}
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Nach Voraussetzung ist $j \ge 1$, also ist $i + j - 1 > m$ und damit folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-4} $H_p(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$.
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Nach Induktionsvoraussetzung gilt $H_{p - 1}(F^{i + j - 1}K / F^{i + j}K) = 0$ für alle $p \in \Z$, das heißt wir erhalten für alle $p \in \Z$ die kurze exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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0 \to 0 \to H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) \to 0 \to 0,
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\end{equation*}
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also muss auch $H_p(F^{i}K / F^{i + j}K) = 0$ gelten.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-6} Seien $Z^i_p$ und $B^i_p$ jeweils die Moduln der Zykel und Ränder in ${(F^i K)}_p$.
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Nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-5} gilt $H_p(F^i K / \bmx^j {(F^i K)}_p) = 0$ für alle $j \ge 0$, also
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\begin{equation*}
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Z^i_p \subset B^i_p + \bmx^j {(F^i K)}_p.
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\end{equation*}
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Damit folgt
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\begin{equation*}
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Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p},
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\end{equation*}
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wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet.
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Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II A: 5. Corrolary~4]{chin2012local}).
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Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen
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\begin{equation*}
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0 \to F^i K \to K \to K / F^i K \to 0.
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\end{equation*}
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Diese liefert folgende lange exakte Homologiesequenz:
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\begin{equation*}
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\cdots \to H_p(F^i K) \to H_p(K) \to H_p(K / F^i K) \to H_{p - 1}(F^i K) \to \cdots
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\end{equation*}
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Ist $i > m$, so ist $H_p(F^i K) = 0$ für alle $p \in \Z$ und es folgt, dass der natürliche Morphismus
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\begin{equation*}
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H_p(\bmx, M) = H_p(K) \to H_p(K / F^i K)
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\end{equation*}
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für alle $p \in \Z$ ein Isomorphismus ist.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-8} Wegen $\length_A(M/\bmx M) < \infty$ sind nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} alle Elemente in $\Supp(M) \cap V(\bmx)$ maximale Ideale.
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Wegen $V(\bmx^i) = V(\bmx)$ gilt also nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} auch $\length_A(M / \bmx^i M) < \infty$ und damit ist auch
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\begin{equation*}
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{(K / F^i K)}_p \cong {(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}}
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\end{equation*}
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von endlicher Länge. Für $i > m$ folgt nach \cref{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} also
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\begin{align}
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\label{eq:euler-poincare-charakteristik}
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\begin{aligned}
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\chi(\bmx, M) &= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p\length_A(H_p(K / F^i K)) \\
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&= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p\length_A({(K / F^i K)}_p) \\
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&=\sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \length_A\left({(M / \bmx^{i - p} M)}^{\binom{r}{p}}\right) \\
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&= \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p}\length_A((M / \bmx^{i - p} M))
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\end{aligned}
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\end{align}
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-9} Wenn $i$ große genug ist, können wir \cref{eq:euler-poincare-charakteristik} zu folgender Gleichung umschreiben:
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\begin{equation*}
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\chi(\bmx, M) = \sum_{p \in \Z} {(-1)}^p \binom{r}{p} P_{\bmx}(M, i - p).
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\end{equation*}
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Nach \cref{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator} ist die rechte Seite dieser Gleichung durch
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\begin{equation*}
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\Delta^r P_{\bmx}(M, i - r) = \Delta^r P_{\bmx}(M) = e_{\bmx}(M, r)
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\end{equation*}
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gegeben.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\end{thm}
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@ -22,6 +22,7 @@
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\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
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\DeclareMathOperator{\map}{map}
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\DeclareMathOperator{\Mod}{Mod}
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\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
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\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
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\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
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