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bibliography.bib

@@ -1,6 +1,6 @@
 @book{chin2012local,
   title={Local Algebra},
-  author={Chin, C.W. and Serre, J.P.},
+  author={Chin, CheeWhye and Serre, Jean-Pierre},
   isbn={9783662042038},
   lccn={00032970},
   series={Springer Monographs in Mathematics},
@@ -8,3 +8,11 @@
   year={2012},
   publisher={Springer Berlin Heidelberg}
 }
+
+@online{ash2003acourse,
+  author = {Ash, Robert B.},
+  title = {A Course In Commutative Algebra},
+  year = 2003,
+  url = {http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html},
+  urldate = {2017-08-16}
+}

chapters/chapter2.tex

@@ -202,19 +202,30 @@ Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
 
 \section{Das Samuel-Polynom}
 \label{sec:das-samuel-polynom}
-Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq$ ein Ideal von $A$.
+Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul.
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
+	Es gilt $\length_A(M) < \infty$ genau dann, wenn alle Elemente in $\Supp(M)$ maximale Ideale sind.
+	\begin{proof}
+		{}\cite[Proposition~1.6.9]{ash2003acourse}.
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+Sei nun $\mfq$ ein Ideal von $A$.
 Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
 Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
 \begin{equation}
 	\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
 	\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
 \end{equation}
-Dies ist äquivalent zu:
+Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} äquivalent zu:
 \begin{equation}
 	\label{eq:elemente-in-supp}
 	\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
 \end{equation}
 
+
 Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
 \begin{align*}
 	&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
@@ -230,7 +241,7 @@ Demnach ist die Abbildung
 wohldefiniert.
 
 \begin{thm}[Samuel]
-	\label{thm:samuel-polynomial}
+	\label{thm:samuel-polynom}
 	Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
 	\begin{proof}
 		Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen:
@@ -272,7 +283,7 @@ wohldefiniert.
 	\label{bem:samuel-polynom}
 	Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wird im Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet.
 	Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$.
-	Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} zeigt
+	Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} zeigt
 	\begin{equation}
 		\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
 		\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
@@ -308,7 +319,7 @@ wohldefiniert.
 	\label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
 	Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
 	\begin{proof}
-		Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynomial} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
+		Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
 		Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$.
 		Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$.
 		Für große $n$ gilt demnach

chapters/chapter3.tex

@@ -372,4 +372,28 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 \section{Die Filtrierung eines Koszul-Komplexes}
 \label{sec:die-filtrierung-eines-koszu-komplexes}
 
-Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sein im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
+Im Folgenden sei $A$ ein lokaler noetherscher Ring, das Ideal $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von $A$ sein im maximalen Ideal von $A$ enthalten und $M$ sei ein endlich erzeugter $A$-Modul mit $\length_A(M / \bmx M) < \infty$.
+Die $A$-Moduln $H_p(\bmx, M)$ sind endlich erzeugt und für $\mfp \in \Supp(H_p(\bmx, M))$ gilt $\mfp \supset \Ann_A(H_p(\bmx, M))$.
+Nach \cref{prop:koszul-homologie-annihilator} gilt also insbesondere $\mfp \supset \bmx + \Ann_A(M) = \Ann_A(M / \bmx M)$.
+Damit gilt $\mfp \in \Supp(M / \bmx M)$, also ist $\mfp$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} ein maximales Ideal und wieder mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt $\length_A(H_p(\bmx, M)) < \infty$.
+
+\begin{defn}[Euler-Poincaré-Charakteristik]
+	\label{defn:euler-poincare-charakteristik}
+	Wir definieren die \textbf{Euler-Poincaré-Charakteristik} zu $(\bmx, M)$ durch
+	\begin{equation*}
+		\chi(\bmx, M) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \length_A(H_p(\bmx, M)).
+	\end{equation*}
+\end{defn}
+
+Das Samuel-Polynom $P_{\bmx}(M)$ ist nach \cref{thm:samuel-polynom} vom Grad $\le r$ und es gilt
+\begin{equation*}
+	P_{\bmx}(M, r) = e_{\bmx}(M, r)\frac{n^r}{r!} + Q(n),
+\end{equation*}
+wobei $Q$ ein Polynom in $\in \Q[X]$ vom Grad $< r$ ist und wir mit $e_{\bmx}(M, r)$ das konstante Polynom $\Delta^r P_{\bmx}(M)$ bezeichnen.
+
+Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M, r)$ miteinander vergleichen.
+
+\begin{thm}
+	\label{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}
+	Es gilt $\chi(\bmx, M) = e_{\bmx}(M, r)$.
+\end{thm}