4. Kapitel angefangen
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\bibliography{bibliography}
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\usepackage{cleveref}
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\usepackage{bm}
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\usepackage{tikz-cd}
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\input{theorem_environments}
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\input{custom_commands}
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\include{chapters/chapter1}
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\include{chapters/chapter2}
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\include{chapters/chapter3}
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\include{chapters/chapter4}
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\printbibliography
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@ -522,7 +522,11 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
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\begin{kor}
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\label{kor:euler-poincare-charakteristik-koszul-komplex-dminesion}
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Es gilt $\chi(\bmx, M) > 0$, falls $\dim(M) = r$ und $\chi(\bmx, M) = 0$, falls $\dim(M) < r$.
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Es gilt $\dim(M) \le r$. Weiter gilt:
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\begin{align*}
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\chi(\bmx, M) &> 0, \qquad \text{falls } \dim(M) = r \\
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\chi(\bmx, M) &= 0, \qquad \text{falls } \dim(M) < r
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\end{align*}
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\begin{proof}
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Dies folgt direkt aus \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}.
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\end{proof}
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\chapter{Multiplizitäten}
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\label{cha:multiplizitaeten}
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\section{Reduktion auf die Diagonale}
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\label{sec:reduktion-auf-die-diagonale}
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Im Folgenden wollen wir das Verfahren der \emph{Reduktion auf die Diagonale} einführen.
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Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$, so ist die algebraische Menge $V \cap W = V(I(V) + I(W))$ im allgemeinen nicht irreduzibel. Deswegen interessieren wir uns im Folgenden für eine irreduzible Komponente davon.
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\begin{prop}
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\label{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}
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Sei $k$ ein Körper.
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Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten von $\A^n_k$ und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, dann gilt
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\begin{equation*}
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\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
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\end{equation*}
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Oder in algebraischer Sprache ausgedrückt:
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Sind $\mfp', \mfp'' \in \Spec(k[X_1, \ldots, X_n])$ und ist $\mfp$ ein Minimales Element in $V(\mfp' + \mfp'')$, dann gilt
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\begin{equation*}
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\height(\mfp) \le \height(\mfp') + \height(\mfp'').
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\end{equation*}
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\end{prop}
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Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
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\begin{lem}
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\label{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler}
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Sei $A$ ein Ring und $\mfp$ ein minimales Primideal von $A$.
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Dann sind alle Elemente von $\mfp$ Nullteiler in $A$.
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\begin{proof}
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Ist $R = 0$, so ist die Aussage trivial, sei also im Folgenden $R \neq 0$.
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Ist $B \subset A$, so bezeichnen wir das Komplement von $B$ in $A$ mit $\overline{B}$.
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Sei $\mcZ(A)$ die Menge der Nullteiler von $A$ und sei $S$ die multiplikative Menge $\overline{\mfp} \cdot \overline{\mcZ(A)}$.
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Es gilt $0 \notin S$, denn sonst wäre $0 = ab$ mit $a \in \overline{\mfp}$ und $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
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Dann gilt aber $b \in \mcZ(A)$ im Widerspruch zu $b \in \overline{\mcZ(A)}$.
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Demnach gilt $R_S \neq 0$ und es gibt ein Primideal $\mfq'$ von $R_S$.
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Dieses entspricht einem Primideal $\mfq$ von $R$ mit $\mfq \cap S = \emptyset$, also $\mfq \subset \overline{S}$.
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Wegen $R \neq 0$ gilt $1 \notin \mcZ(A)$ und da $\mfp$ prim ist, gilt $1 \notin \mfp$.
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Es folgt $S \supset \overline{\mfp} \cup \overline{\mcZ(A)}$ und damit $\overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A)$.
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Insgemsamt erhalten wir also
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\begin{equation*}
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\mfq \subset \overline{S} \subset \mfp \cap \mcZ(A).
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\end{equation*}
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Da $\mfp$ aber ein minimales Primideal ist, gilt bereits
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\begin{equation*}
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\mfp = \mfq \subset \mcZ(A).
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{lem}
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\label{lem:dimension-tensor-produkt-modulo-minimales-primideal}
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Seien $A'$ und $A''$ integre endlich erzeugte $k$-Algebren.
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Für jedes minimale Primideal $\mfp$ von $A' \otimes_k A''$ gilt dann
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\begin{equation*}
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\dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) = \dim(A' \otimes_k A'') = \dim(A') + \dim(A'').
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\end{equation*}
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\begin{proof}
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Nach dem noetherschen Normalisierungssatz gibt es $B' = k[X_1, \ldots, X_n]$ und $B'' = k[Y_1, \ldots, Y_m]$ mit der Eigenschaft, $A'$ ganz über $B'$ und $A''$ ganz über $B''$ sind.
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Nach dem Going Up Theorem gilt dann $\dim(A') = \dim(B')$ und $\dim(A'') = \dim(B'')$. Weiter gilt
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\begin{equation*}
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B' \otimes_k B'' = k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_m] \cong k[X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_m],
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\end{equation*}
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\begin{equation*}
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\dim(B' \otimes_k B'') = n + m = \dim(B') + \dim(B'').
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\end{equation*}
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Ist $a \in A'$, so gibt es eine Ganzheitsgleichung
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\begin{equation*}
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a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0 = 0
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\end{equation*}
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mit gewissen $\alpha_i \in B'$.
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Ist nun $b \in A''$, dann gilt
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\begin{align*}
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& {(a \otimes b)}^r + {(\alpha_{r - 1} \otimes b)(a \otimes b)}^{r - 1} + \cdots + (\alpha_1 \otimes b^{r - 1})(a \otimes b) + \alpha_0 \otimes b^r \\
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=& (a^r + \alpha_{r - 1} a^{r - 1} + \cdots + \alpha_1 a + \alpha_0) \otimes b^r = 0.
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\end{align*}
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Also ist $a \otimes b$ ganz über $B' \otimes_k A''$.
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Da alle Elemente aus $A' \otimes_k A''$ Summen von Elementen der Form $a \otimes b$ sind, ist folglich $A' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k A''$.
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Das gleiche Argument zeigt nun, dass $B' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k B''$ ist und wegen der Transitivität der Ganzheit folgt, dass $A' \otimes_k A''$ ganz über $B' \otimes_k B''$ ist.
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Seien nun $K', K'', L', L''$ jeweils die Quotientenkörper von $A', A'', B', B''$.
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Dann haben wir folgendes kommutative Diagramm von Injektionen:
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\begin{center}
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\begin{tikzcd}
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0 \ar[r] & L' \otimes_k L'' \ar[r] &K' \otimes_k K'' \\
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0 \ar[r] & B' \otimes_k B'' \ar[u] \ar[r] & A' \otimes_k A'' \ar[u] \\
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& 0 \ar[u] & 0 \ar[u]
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\end{tikzcd}
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\end{center}
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Da $K'$ ist als $L'$-Vektorraum frei über $L'$ und $K''$ ist als $L''$-Vektorraum frei über $L''$.
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Da Tensorprodukte und direkte Summen vertauschen, ist also $K' \otimes_k K''$ frei über $L' \otimes_k L''$.
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Insbesondere ist $K' \otimes_k K''$ ein torsionsfreier $B' \otimes_k B''$-Modul.
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Betrachte nun $x \in \mfp \cap B' \otimes_k B''$.
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Da $\mfp$ ein minimales Primideal ist, $x$ nach \cref{lem:elemente-minimaler-primideale-sind-nullteiler} ein Nullteiler in $A' \otimes_k A''$, also gibt es ein $0 \neq y \in A' \otimes_k A''$ mit $xy = 0$.
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Wäre $x \neq 0$, so wäre also $y \in K' \otimes_k K''$ ein $B' \otimes_k B''$-Torsionselement, aber $K' \otimes_k K''$ ist torsionsfrei.
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Folglich gilt $\mfp \cap B' \otimes_k B'' = 0$ und damit ist $(A' \otimes_k A'') / \mfp$ ganz über $(B' \otimes_k B'') / (\mfp \cap B' \otimes_k B'') = B' \otimes_k B''$.
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Das Going Up Theorem liefert uns nun
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\begin{align*}
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\dim((A' \otimes_k A'') / \mfp) &= \dim(B' \otimes_k B'') \\
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&= \dim(B') + \dim(B'')\\
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&= \dim(A') + \dim(A'').
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\end{align*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{lem}
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\label{lem:lemma-fuer-reduktion-auf-die-diagonale}
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Sei $k$ ein Körper und $A$ eine $k$-Algebra.
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Sei außerdem $C = A \otimes_k A$ und sei $\phi \colon C \to A$ der durch $\phi(a \otimes b) = ab$ definierte Homomorphismus. Dann gilt:
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item Der Kern $\mfd$ von $\phi$ ist das Ideal von $C$, das von den Elementen der Form
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\begin{equation*}
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1 \otimes a - a \otimes 1, \qquad a \in A
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\end{equation*}
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erzeugt wird.
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\item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
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Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$.
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Dann gilt:
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\begin{align*}
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- \sum_{i = 1}^n (1 \otimes a_i - a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) &= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1 - 1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\
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&= \sum_{i = 1}^n (a_i \otimes 1)(1 \otimes b_i) - (1 \otimes a_i)(1 \otimes b_i) \\
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&= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i - 1 \otimes a_i b_i \\
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&= \sum_{i = 1}^n a_i \otimes b_i
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\end{align*}
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Also ist $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i$ im von den Elementen $a_i \otimes b_i$ erzeugten Ideal enthalten.
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\item Sind $a' \in \mfp'$ und $a'' \in \mfp''$, so gilt \begin{equation*}
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\phi(a' \otimes 1 + 1 \otimes a'') = \phi(a' \otimes 1) + \phi(1 \otimes a'') = a' + a''.
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\end{equation*}
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Es folgt also
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\begin{equation*}
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\phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \supset \mfp' + \mfp''.
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\end{equation*}
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Sind umgekehrt $a' = \sum_{i = 1}^n a_i' \otimes b_i' \in \mfp' \otimes_k A$ und $a'' = \sum_{i = 1}^m b_i'' \otimes a_i'' \in A \otimes_k \mfp''$, so gilt
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\begin{equation*}
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\phi(a' + a'') = \phi\left(\sum_{i = 1}^n a_i' \otimes b_i' + \sum_{i = 1}^m b_i'' \otimes a_i''\right) = \underbrace{\sum_{i = 1}^n a_i' b_i'}_{\in \mfp'} + \underbrace{\sum_{i = 1}^m b_i'' a_i'}_{\in \mfp''} \in \mfp' + \mfp''.
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\end{equation*}
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Es folgt also auch
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\begin{equation*}
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\phi(\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp'') \subset \mfp' + \mfp''.
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\end{lem}
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Wir können nun \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt} beweisen:
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\begin{proof}[Beweis von \cref{prop:dimension-von-irreduzibler-komponente-von-schnitt}]
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\end{proof}
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@ -1,3 +1,4 @@
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\newcommand{\A}{\mathbb{A}}
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
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\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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@ -6,23 +7,29 @@
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\newcommand{\mfa}{\mathfrak{a}}
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\newcommand{\mfb}{\mathfrak{b}}
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\newcommand{\mfd}{\mathfrak{d}}
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\newcommand{\mfm}{\mathfrak{m}}
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\newcommand{\mfn}{\mathfrak{n}}
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\newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}}
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\newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}}
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\newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}}
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\newcommand{\bmi}{\bm{i}}
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\newcommand{\bmx}{\bm{x}}
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\newcommand{\bmy}{\bm{y}}
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\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
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\DeclareMathOperator{\Ch}{Ch}
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\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
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\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
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\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext}
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\DeclareMathOperator{\gr}{gr}
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\DeclareMathOperator{\height}{ht}
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\DeclareMathOperator{\map}{map}
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\DeclareMathOperator{\Mod}{Mod}
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\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
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\DeclareMathOperator{\Supp}{Supp}
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\DeclareMathOperator{\Tor}{Tor}
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