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@ -1,18 +1,33 @@
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@book{chin2012local,
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@book{serre2000local,
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title={Local Algebra},
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author={Chin, CheeWhye and Serre, Jean-Pierre},
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isbn={9783662042038},
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lccn={00032970},
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author={Serre, Jean-Pierre},
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translator={Chin, CheeWhye},
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series={Springer Monographs in Mathematics},
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url={https://books.google.de/books?id=Ne3tCAAAQBAJ},
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year={2012},
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year={2000},
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publisher={Springer Berlin Heidelberg}
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}
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@online{ash2003acourse,
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@book{roberts1998multiplicities,
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title={Multiplicities and Chern Classes in Local Algebra},
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author={Roberts, Paul C.},
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series={Cambridge Tracts in Mathematics},
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year={1998},
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publisher={Cambridge University Press}
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}
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@book{eisenbud2004commutative,
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title={Commutative Algebra},
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subtile={with a View Toward Algebraic Geometry},
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author={Eisenbud, David},
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series={Graduate Texts in Mathematics},
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year={2004},
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publisher={Springer New York}
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}
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@unpublished{ash2003acourse,
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author = {Ash, Robert B.},
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title = {A Course In Commutative Algebra},
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year = 2003,
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url = {http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ComAlg.html},
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urldate = {2017-08-16}
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}
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}
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@ -208,7 +208,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erze
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\label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
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Es gilt $\length_A(M) < \infty$ genau dann, wenn alle Elemente in $\Supp(M)$ maximale Ideale sind.
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\begin{proof}
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{}\cite[Proposition~1.6.9]{ash2003acourse}.
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{}\cite[Corollary~2.17]{eisenbud2004commutative}.
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\end{proof}
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\end{lem}
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@ -226,7 +226,7 @@ Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium
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\end{equation}
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Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-gute Filtrierung von $M$, das heißt
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Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $M$, das heißt
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\begin{align*}
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&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
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&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
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@ -246,7 +246,7 @@ wohldefiniert.
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\begin{proof}
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Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen:
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Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$.
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Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-gute Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
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||||
Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
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||||
Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch.
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Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
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@ -299,7 +299,7 @@ wohldefiniert.
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Es gilt \begin{equation*}
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P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
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||||
\end{equation*}
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||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$, dessen führender Koeffizient~$\ge 0$ ist.
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||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
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\begin{proof}
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||||
Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$.
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Für alle $n \ge 0$ gilt dann
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@ -316,11 +316,84 @@ wohldefiniert.
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\end{lem}
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\begin{prop}
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\label{prop:hilber-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
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Der Grad von $P_\mfq(M)$ ist nicht von $\mfq$, sondern nur von $V(\mfq)$ abhängig.
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\label{prop:samuel-polynom-additivitaet}
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Ist
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\begin{equation*}
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||||
0 \to N \to M \to P \to 0
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||||
\end{equation*}
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||||
eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
P_\mfq(M) = P_\mfq(N) + P_\mfq(P) - R,
|
||||
\end{equation*}
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||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
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||||
\begin{proof}
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||||
Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annhemen, also gilt $V(q) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\}$, wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
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||||
Sei nun $\mfq'$ ein Ideal von $A$ mit $V(\mfq') = V(\mfq)$.
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||||
Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$.
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||||
Nach dem Lemma von Artin-Rees (sieh {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
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||||
\begin{equation*}
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||||
0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0.
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||||
\end{equation*}
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||||
Demnach gilt für alle $n \ge 0$
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||||
\begin{equation*}
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||||
\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(N / N_n) + \length_A(P / \mfq^n P),
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||||
\end{equation*}
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||||
also
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||||
\begin{equation*}
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||||
P_\mfq(M) = P_\mfq((N_i)) + P_\mfq(P).
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||||
\end{equation*}
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||||
Nach \cref{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch} gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
P((N_i)) = P_\mfq(N) + R,
|
||||
\end{equation*}
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||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
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||||
Dies zeigt die Behauptung.
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\end{proof}
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\end{prop}
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\begin{nota}
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\label{nota:samuel-polynom-koeffizient}
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Ist $d$ eine ganze Zahl $\ge \deg(P_\mfq(M))$, dann bezeichnen wir mit $e_\mfq(M, d)$ die ganze Zahl $\Delta^d P_\mfq(M)$.
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Es gilt:
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\begin{align*}
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||||
e_\mfq(M, d) &= 0 \qquad \text{falls } d > \deg(P_\mfq(M)) \\
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||||
e_\mfq(M, d) &\ge 1 \qquad \text{falls } d = \deg(P_\mfq(M))
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||||
\end{align*}
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||||
Ist $d = \deg(P_\mfq(M))$, so gilt außerdem
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||||
\begin{equation}
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||||
P_\mfq(M, n) \sim e_\mfq(M, d) \frac{n^d}{d!} \qquad \text{für } n \to \infty.
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||||
\end{equation}
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||||
\end{nota}
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\begin{kor}
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||||
\label{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet}
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||||
Ist
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\begin{equation*}
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||||
0 \to N \to M \to P \to 0
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||||
\end{equation*}
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||||
eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt für $d \ge \deg(P_\mfq(M))$:
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||||
\begin{equation*}
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||||
e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + q_\mfq(P, d)
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||||
\end{equation*}
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\begin{proof}
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||||
Dies folgt unmittelbar aus \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}.
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\end{proof}
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\end{kor}
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\begin{prop}
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\label{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
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||||
Sind $\mfq, \mfq'$ Ideale von $A$ mit $\length_A(M/\mfq M) < \infty$ und $\length_A(M/\mfq' M) < \infty$ und gilt zusätzlich
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\begin{equation*}
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||||
\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M) \cap V(\mfq'),
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||||
\end{equation*}
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||||
dann gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
\deg(P_\mfq(M)) = \deg(P_{\mfq'}(M)).
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||||
\end{equation*}
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\begin{proof}
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||||
Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annehmen, also gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
V(\mfq) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\} = V(\mfq'),
|
||||
\end{equation*}
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||||
wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
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||||
Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$.
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||||
Für große $n$ gilt demnach
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\begin{equation*}
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@ -331,28 +404,114 @@ wohldefiniert.
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\end{proof}
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\end{prop}
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\begin{defn}
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\label{defn:ideal-von-definition}
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||||
Sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
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||||
Ein Ideal $\mfq$ von $A$ heißt \textbf{Ideal von Definition} von $A$, falls die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}[(a)]
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||||
\item Es gibt ein $s > 0$ mit $\mfm \supset \mfq \supset \mfm^s$
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||||
\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist von endlicher Länge
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||||
\item Der $A$-Modul $A/\mfq$ ist artinsch
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{defn}
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\section{Dimensionstheorie noetherscher lokaler Ringe}
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\label{sec:dimensionstheorie-noetherscher-lokaler-ringe}
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||||
% Im Folgenden sei nun $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Idean $\mfm$, $\mfq$ ein Ideal von Definition von $A$ und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul.
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||||
% Mit $d(M)$ bezeichnen wir den Grad von $P_\mfq(M)$ und mit $s(M)$ das Infimum der ganzen Zahlen $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1,\ldots,x_n \in \mfm$ mit $\length_A(M/(x_1,\ldots,x_n)M) < \infty$ gibt.
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||||
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
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||||
Sei außerdem $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq \subset \mfm$ ein Ideal in $A$ mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
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% \begin{lem}
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% \label{lem:}
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% \end{lem}
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||||
Wir bezeichnen mit $d(M)$ den Grad von $P_\mfq(M)$.
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||||
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Polynom, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
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||||
\begin{equation*}
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||||
\Supp(M) \cap V(\mfq') = \Supp(M / \mfq' M) = \lbrace \mfm \rbrace = \Supp(M / \mfq M) = \Supp(M) \cap V(\mfq).
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||||
\end{equation*}
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||||
Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
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||||
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% \begin{thm}
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||||
% \label{thm:samuel-polynom-dimension}
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% Es gilt
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% \begin{equation*}
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% \dim M = d(M) = s(M).
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||||
% \end{equation*}
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||||
% \end{thm}
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||||
Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist.
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||||
Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen.
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\begin{prop}
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\label{prop:d-kleinergleich-s}
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Es gilt $d(M) \le s(M)$.
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\begin{proof}
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Nach der Definition von $s(M)$ gibt es ein Ideal $\mfa \subset \mfm$ von $A$, das von $s(M)$ Elementen erzeugt wird, mit $\length_A(M / \mfa M) < \infty$.
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Demnach gilt
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\begin{equation*}
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d(M) = \deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfa}(M)
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\end{equation*}
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||||
und nach \cref{thm:samuel-polynom} folgt $d(M) \le s(M)$.
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||||
\end{proof}
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\end{prop}
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\begin{prop}
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\label{prop:dim-kleinergleich-d}
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||||
Es gilt $\dim(M) \le d(M)$.
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\begin{proof}
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Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $d(M)$.
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||||
Im Fall $d(M) = 0$ ist $P_\mfq(M)$ konstant.
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||||
Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eingeschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$.
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||||
Betrachte nun folgende kurze exakte Sequenz:
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||||
\begin{equation*}
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||||
0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0
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||||
\end{equation*}
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||||
Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) = 0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$.
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||||
Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt nach dem Nakayama Lemma $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$.
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||||
Sei nun $\mfp \in \Supp(M)$, dann gilt $\mfp \supset \Ann_A(M) \supset \mfq^k$.
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||||
Da $\mfp$ prim ist, folgt $\mfp \supset \mfp$ und damit $\mfp \in \Supp(M / \mfq M)$.
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||||
Nach Voraussetzung ist aber $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also, dass $\mfp$ maximal ist.
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||||
Demnach sind alle Primideale von $A/\Ann_A(M)$ maximal und folglich gilt $\dim(M) = \dim(A/\Ann_A(M)) = 0$.
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||||
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||||
Sei nun also $d(M) = n \ge 1$ und die Behauptung bereits für $n - 1$ gezeigt.
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||||
Sei $\mfp_0 \in \Supp(M)$ minimal mit $\dim(M) = \dim(A/\mfp_0)$.
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||||
Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I 7. Theorem~1]{serre2000local}).
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||||
Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}
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||||
gilt dann $d(N) \le d(M)$, wir können also $M = A / \mfp_0$ annehmen.
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||||
Angenommen es gilt $\dim(M) > d(M)$.
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||||
Dann gibt es eine echt aufsteigende Kette von Primidealen
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||||
\begin{equation*}
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||||
\mfp_0 \subsetneq \mfp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mfp_k
|
||||
\end{equation*}
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||||
mit $k > d(M)$.
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||||
Sei $x \in \mfp_1 \setminus \mfp_0$, dann gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
\dim(M / xM) \ge k - 1 > d(M) - 1.
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||||
\end{equation*}
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||||
Betrachte nun den Homomorphismus
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||||
\begin{equation*}
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||||
\cdot x \colon M \to M,\, m \mapsto xm.
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||||
\end{equation*}
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||||
Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv.
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||||
Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz:
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||||
\begin{equation*}
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||||
0 \to M \overset{\cdot x} \to M \to M / xM \to 0
|
||||
\end{equation*}
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||||
Nach %TODO: Refrenz
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||||
gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
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||||
\begin{equation*}
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||||
d(M) - 1 < \dim(M / xM) \le d(M / xM) \le d(M) - 1.
|
||||
\end{equation*}
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||||
Dies ist ein Widerspruch, also muss bereits $\dim(M) \le d(M)$ gelten.
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||||
\end{proof}
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||||
\end{prop}
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||||
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||||
\begin{prop}
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||||
\label{prop:s-kleinergleich-dim}
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Es gilt $s(M) \le \dim(M)$.
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||||
\begin{proof}
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||||
Wir benutzen Induktion über $ n = \dim(M)$ (nach \cref{prop:dim-kleinergleich-d} wissen wir, dass $\dim(M) < \infty$ gilt).
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||||
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||||
Im Fall $n = 0$ ist gilt $\dim(A / \mfp) = 0$ für alle $\mfp \in \Supp(M)$.
|
||||
Demnach sind alle $\mfp \in \Supp(M)$ maximale Ideale und damit ist nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} $\length_A(M) < \infty$.
|
||||
Folglich gilt $s(M) = 0$.
|
||||
|
||||
Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt.
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||||
Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Kapitel~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}).
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||||
Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und wir können nach dem Lemma zur Vermeidung von Primidealen $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}).
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||||
Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$.
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||||
Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
s(M) - 1 \le s(M / xM) \le \dim(M / xM) \le \dim(M) - 1.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Folglich gilt $s(M) \le \dim(M)$.
|
||||
\end{proof}
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||||
\end{prop}
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||||
|
||||
\begin{thm}
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||||
\label{thm:dim-gleich-d-gleich-s}
|
||||
Es gilt $\dim(M) = d(M) = s(M)$.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Dies folgt aus {}\cref{prop:d-kleinergleich-s,prop:dim-kleinergleich-d,prop:s-kleinergleich-dim}.
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||||
\end{proof}
|
||||
\end{thm}
|
||||
|
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|||
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@ -417,7 +417,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
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|||
\begin{equation*}
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||||
{(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p.
|
||||
\end{equation*}
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||||
Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-gute Filtrierung von $K$.
|
||||
Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung von $K$.
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||||
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring.
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Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$.
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Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$.
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@ -475,7 +475,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
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Z^i_p \subset \bigcap_{j \in \N} B^i_p +\bmx^j {(F^i K)}_p = \overline{B^i_p},
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\end{equation*}
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wobei $\overline{B^i_p}$ den Abschluss von $B^i_p$ bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie auf ${(F^i K)}_p$ bezeichnet.
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Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II A: 5. Corrolary~4]{chin2012local}).
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Wegen $\bmx \subset \mfm = \Rad(A)$ ist jeder Untermodul eine endlich erzeugten $A$-Moduls bezüglich der $\bmx$-adischen Topologie abgeschlossen (vergleiche {}\cite[Chapter~II A: 5. Corrolary~4]{serre2000local}).
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Insbesondere ist also $B^i_p$ abgeschlossen und damit folgt $Z^i_p \subset B^i_p$, also $H_p(F^i K) = 0$.
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\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-7} Betrachte nun die kurze exakte Sequenz von Komplexen
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\begin{equation*}
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@ -518,4 +518,12 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
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gegeben.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\end{thm}
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\end{thm}
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\begin{kor}
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\label{kor:euler-poincare-charakteristik-koszul-komplex-dminesion}
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Es gilt $\chi(\bmx, M) > 0$, falls $\dim(M) = r$ und $\chi(\bmx, M) = 0$, falls $\dim(M) < r$.
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\begin{proof}
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Dies folgt direkt aus \cref{thm:dim-gleich-d-gleich-s} und \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom}.
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\end{proof}
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\end{kor}
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