Einleitung

bibliography.bib

@@ -110,4 +110,12 @@ tures},
   volume={44},
   pages={305 - 324},
   journal={L’Enseignement Mathématique}
-}
+}
+
+@book{fulton1998intersection,
+  title={Intersection Theory},
+  author={Fulton, William},
+  series={Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete},
+  year={1998},
+  publisher={Springer New York}
+}

chapters/chapter1.tex

@@ -2,3 +2,67 @@
 
 \chapter{Einleitung}
 \label{cha:einleitung}
+
+Die Schnitmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
+Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Besipiel {}\cite{fulton1998intersection}).
+
+Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
+Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
+
+\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Pierre Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt bezüglich eines endlich erzeugten Moduls, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
+Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
+Als Ergebnis erhalten wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht.
+
+Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
+Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
+Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls $M$. Dabei muss $\mfq$ im Maximalideal von $A$ enthalten sein und die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen.
+In diesem Fall gilt dann
+\begin{equation*}
+    \tag{$\ast$}\label{eq:einleitung-samuel-koszul}
+    e_\mfq(M, r) = \sum_{i = 0}^r \length_A(H_i(\bmx, M)),
+\end{equation*}
+wobei die $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigem Koszul-Komplexes sind.
+
+In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden.
+Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt.
+
+Die \emph{Reduktion auf die Diagonale} stellt für fast alle folgenden Ergebnisse ein sehr wichtiges Prinzip dar, deswegen wird sie beispielhaft im Fall affiner irreduzibler Varietäten erläutert.
+Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \enquote{Dimensionsformel} der algebraischen Geometrie gezeigt: Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten eines affinen Raums und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, so gilt
+\begin{equation*}
+    \codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
+\end{equation*}
+
+Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\widehat{\otimes}$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt: 
+\begin{equation*}
+    \tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
+    \Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A),
+\end{equation*}
+wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
+
+Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
+\begin{enumerate}[label = (\roman*)]
+    \item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
+    \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
+    \item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
+\end{enumerate}
+Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lokale Ringe gleicher Charakteristik kann man dieses Theorem nun auch auf den Fall verallgemeinern, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist.
+Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist.
+\cref{sec:Ausblick} gibt einen kurzen Überblick darüber, welche Resultate in diesem Zusammenhang bereits beweisen wurden.
+
+Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen geometrie, denn is $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
+
+Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$, in der sich $U$ ind $V$ eigentlich schneiden, das heißt
+\begin{equation*}
+    \dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W).
+\end{equation*}
+Seien außerdem $A$, $A_U$ und $A_V$ die lokalen Ringe von $X$, $U$ und $V$ bei $W$.
+Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, dann gilt
+\begin{equation*}
+    \tag{$\ast\ast\ast$}\label{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet}
+    i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
+\end{equation*}
+Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
+Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnittheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
+
+Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
+So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.

chapters/chapter4.tex

@@ -851,7 +851,7 @@ Sei $X$ eine algebraische Varietät über dem Körper $k$.
 Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass $k$ algebraisch abgeschlossen und $X$ irreduzibel ist.
 Seien $U$, $V$ und $W$ drei irreduzible Untervarietäten von $X$, wobei $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$ ist.
 Wir nehmen zusätzlich an, dass der lokale Ring $A$ von $X$ bei $W$ regulär ist.
-Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ in der Menge der glatten Punkte von $X$ liegt.
+Da $k$ perfekt ist, ist dies genau dann der Fall, wenn $W$ nicht-leeren Schnitt mit der glatten Punkte von $X$ hat.
 
 Seien $\mfp_U$ und $\mfp_V$ die Primideale des lokalen Rings $A$, die zu den Untervarietäten $U$ und $V$ gehören.
 Nach Voraussetzung ist $A$ regulär und $A / (\mfp_U + \mfp_V)$ ist von endlicher Länge.