saluu/Serres_Tor-Formel_und_Reduktion_auf_die_Diagonale
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Beweis für erste Eigenschaft von vervollständigkten Tensorprodukten hinzugefügt.

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Johannes Loher 2017-09-04 19:21:32 +02:00
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1
Ausarbeitung.tex
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@ -16,6 +16,7 @@
\usepackage{cleveref}
\usepackage{bm}
\usepackage{tikz-cd}
\usetikzlibrary{babel}
\input{theorem_environments}
\input{custom_commands}

10
bibliography.bib
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@ -38,4 +38,12 @@
series={Princeton Mathematical Series},
year={1956},
publisher={Princeton University Press}
}
}
@book{bourbaki2006algebre,
title={Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4},
author={Bourbaki, Nicolas},
series={Algèbre commutative},
year={2006},
publisher={Springer Berlin Heidelberg}
}

90
chapters/chapter4.tex
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@ -276,4 +276,94 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\begin{prop}
\label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Es gilt
\begin{equation}
\label{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale}
\widehat{\Tor}^k_i(M, N) \cong \varprojlim_{p} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_p)
\end{equation}
und
\begin{align*}
\widehat{\Tor}^k_i(M, N) &\cong \varprojlim_{p} \varprojlim_{q}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \\
&\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
\end{align*}
\item Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(a)]
\item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
\item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
Da $(M_p)$ und $(M'_p)$ die gleiche Topologie auf $M$ definieren, nämlich die $\mfm$-adische (vergleiche {}\cite[Chapitre~III, §3, Proposition~4]{bourbaki2006algebre}), gibt es zu jedem $p \in \N$ ein $p' \in \N$ mit $M_{p'} \subset M'_p$.
Sei
\begin{equation*}
\phi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n)
\end{equation*}
der kanonische Morphismus.
Ist nun $l \in \N$, so gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und wir erhalten einen Morphismus
\begin{equation*}
M/M_m \to M/M'_l
\end{equation*}
und damit für alle $n \in \N$ einen Morphismus
\begin{equation*}
\alpha_{m,l,n}\colon \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n).
\end{equation*}
Sind $m, m' \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$, $M_{m'} \subset M'_l$ und $M_m \subset M_{m'}$, so ist das Diagramm
\begin{center}
\begin{tikzcd}
M / M_{m'} \ar[d, two heads] \ar[r, two heads] & M / M'_l \ar[d, equal] \\
M / M_m \ar[r, two heads] & M / M'_l
\end{tikzcd}
\end{center}
offensichtlich kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\Tor^k_i(M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
\Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
\end{tikzcd}
\end{center}
Wir definieren nun
\begin{equation*}
\psi_{l, n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
\end{equation*}
durch $\psi_{l, n} = \alpha_{m, l, n} \circ \phi_{m, n}$, wobei $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$.
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $m$, wie das folgende kommutative Diagramm zeigt:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
\varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \ar[r, "\phi_{m, n}"] \ar[dr, "\phi_{m', n}"'] & \Tor^k_i(M / M_{m'}, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m', l, n}"] \ar[d] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n) \ar[d, equal] \\
&\Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[r, "\alpha_{m, l, n}"'] & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
\end{tikzcd}
\end{center}
Ist nun $l' > l$, also $M'_l \subset M'_{l'}$, dann gibt es ein $m \in \N$ mit $M_m \subset M'_l$ und damit ist das Diagramm
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& M / M_m \ar[dl] \ar[dr]\\
M / M'_{l'} \ar[rr] & & M / M'_l
\end{tikzcd}
\end{center}
kommutativ und damit auch das folgende Diagramm:
\begin{center}
\begin{tikzcd}
& \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \ar[d, "\phi_{m, n}"] \ar[ddl, bend right=15, "\psi_{l',n}"'] \ar[ddr, bend left=15, "\psi_{l,n}"] \\
& \Tor^k_i(M / M_m, N / N_n) \ar[dl, "\alpha_{m, l', n}"] \ar[dr, "\alpha_{m, l, n}"'] \\
\Tor^k_i(M / M'_{l'}, N / N_n) \ar[rr] & & \Tor^k_i(M / M'_l, N / N_n)
\end{tikzcd}
\end{center}
Nach der Definition von $\alpha_{m, l, n}$ ist es offensichtlich, dass $\psi_{l,n}$ auch mit Variationen in $n$ kompatibel ist.
Sei
\begin{equation*}
\varphi_{m,n} \colon \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \Tor^k_i(M / M'_m, N / N_n)
\end{equation*}
der kanonische Morphismus.
Dann erhalten wir einen eindeutigen Morphismus
\begin{equation*}
\Phi \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q)
\end{equation*}
mit $\psi_{l,n} = \varphi_{l,n} \circ \Phi$.
Vertauschen wir nun die Rollen der Filtrierungen $(M_p)$ und $(M'_p)$, so erhalten wir einen eindeutigen Morphismus
\begin{equation*}
\Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q)
\end{equation*}
und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{prop}