Teil zu Polynomartigen Funktionen fertiggestellt
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@ -24,6 +24,32 @@
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Offensichtlich ist $\Delta$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen.
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\end{defn}
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\begin{lem}
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\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
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Sei $Z$ eine abelsche Gruppe, $A\subset \Q$ induktiv und $f\colon A \to Z$ eine Abbildung.
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Sind $n \in \Q$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
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\begin{equation*}
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\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
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\end{equation*}
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\begin{proof}
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Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
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\begin{equation*}
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\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
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\end{equation*}
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Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
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\begin{align*}
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\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
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&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
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&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
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&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
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&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
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&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
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&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
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&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
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\end{align*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{lem}
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\label{lem:differenzenoperator-binomialpolynom}
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Für $k \in \N$ mit $k > 0$ gilt
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@ -50,10 +76,12 @@
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Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$.
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\begin{proof}[Beweis der Äquivalenz]
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Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar.
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Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
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Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
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Das es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$.
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Also sind (a) und (d) äquivalent.
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Um die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) zu zeigen, nutzen wir Induktion über den Grad von $f$.
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Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a).
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Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$.
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@ -62,53 +90,53 @@
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\end{proof}
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\end{deflem}
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Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt für $k > 0$ offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$.
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Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt
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\begin{equation*}
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f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x),
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\end{equation*}
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wobei $g(x) \in \Q[X]$ mit $\deg(g) < k$.
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Ist $\deg(f) = k$, so gilt
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\begin{equation*}
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f(n) \sim e_k(f) \frac{n^k}{k!} \qquad \text{für } n \to \infty.
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\end{equation*}
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Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sodass $f(z) > 0$ für alle $z \ge z_0$ gilt.
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\section{Polynomartige Funktionen}
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\label{sec:polynomartige-funktionen}
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Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewisses $n_0 \in \Z$.
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Im Folgenden sei $A \subset \Z$ induktiv.
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\begin{defn}
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\label{defn:polynomartige-funktionen}
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Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
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Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
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Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt.
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Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
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Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
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Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$.
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\end{defn}
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\begin{lem}
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\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
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\end{lem}
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Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung. Sind $n \in \Z$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
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\begin{equation*}
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\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
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\end{equation*}
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\begin{proof}
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Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
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\begin{equation*}
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\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
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\end{equation*}
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Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
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\begin{align*}
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\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
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&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r + 1))\\
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&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
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&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
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&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
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&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
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&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
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\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{lem}
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\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
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Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $f$ ist polynomartig vom Grad $r$
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\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $r - 1$
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$
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\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$
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\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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{}\cite[Chapter II. B: Lemma 2.]{chin2012local}%TODO: Vielleicht Beweis ausführen
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Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) sind klar.
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Sei also nun (b) wahr.
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Sei $R = \sum_{k \in \N} e_k(P_{\Delta f}) Q_{k+1}$, dann ist $R$ vom Grad $\le r$ und es gilt $\Delta R = P_{\Delta f}$.
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Betrachte die Abbildung $g \colon A \to \Z,\, z \mapsto f(z) - R(z)$, dann gilt für $z$ groß genug:
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\begin{equation*}
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\Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0
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\end{equation*}
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Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(n) + e_0$ für $z$ groß genug.
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Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$.
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Die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) folgt durch Induktion über $r$ und Verwendung der Implikation (b) $\Rightarrow$ (a).
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\end{proof}
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\end{lem}
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