Koszulkomplex eines Moduls und ganzzahlige Polynome hinzugefügt

chapters/chapter2.tex

@@ -1,6 +1,67 @@
 \chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
 \label{cha:hilbert-samuel-polynome}
 
+\section{Ganzzahlige Polynome}
+\label{sec:ganzzahlige-polynome}
+
+\begin{defn}[Binomialpolynom]
+	\label{defn:binomialpolynom}
+	Für $k \in \N$ definieren wir das $k$-te \textbf{Binomialpolynom} durch
+	\begin{equation*}
+		Q_k(X) = \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i = 1}^k (X - k + i) \in \Q[X].
+	\end{equation*}
+	Offensichtlich bilden die Binomialpolynome eine $\Q$-Basis von $\Q[X]$.
+\end{defn}
+
+\begin{defn}[Differenzenoperator]
+	\label{defn:differenzenoperator}
+	Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ induktiv, das heißt aus $n \in A$ folgt $n + 1 \in A$.
+	Dann definieren wir den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
+	\begin{align*}
+		\Delta\colon \map(A,Z) &\to \map(A,Z)\\
+		f &\mapsto (\Delta f \colon A \to Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
+	\end{align*}
+	Offensichtlich ist $\Delta$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen.
+\end{defn}
+
+\begin{lem}
+	\label{lem:differenzenoperator-binomialpolynom}
+	Für $k \in \N$ mit $k > 0$ gilt
+	\begin{equation*}
+		\Delta Q_k = Q_{k - 1}.
+	\end{equation*}
+	\begin{proof}
+		Es gilt
+		\begin{equation*}
+			\Delta Q_k(n) = Q_k(n + 1) - Q_k(n) = \binom{n + 1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k - 1} = Q_{k - 1}(n).
+		\end{equation*}
+	\end{proof}
+\end{lem}
+
+\begin{deflem}[Ganzzahliges Polynom]
+	\label{deflem:ganzzahliges-polynom}
+	Ein Polynom $f \in \Q[X]$ heißt \textbf{ganzzahlig}, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
+	\begin{enumerate}[(a)]
+		\item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$.
+		\item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$.
+		\item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$.
+		\item $\Delta f$ besitzt die Eigenschaft aus (a) und es gibt mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$.
+	\end{enumerate}
+	Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$.
+	\begin{proof}[Beweis der Äquivalenz]
+		Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar.
+		Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
+		Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
+		Das es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$.
+		Also sind (a) und (d) äquivalent.
+		Um die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) zu zeigen, nutzen wir Induktion über den Grad von $f$.
+		Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a).
+		Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$.
+		Offensichtlich gilt $\deg \Delta f < \deg f$ und auch $\Delta f$ erfüllt (c).
+		Also erfüllt $\Delta f$ (a) und damit erfüllt $f$ (d).
+	\end{proof}
+\end{deflem}
+
 \section{Polynomartige Funktionen}
 \label{sec:polynomartige-funktionen}
 
@@ -14,15 +75,6 @@ Im Folgenden sei $A = \Z$ oder $A = \{z \in \Z \mid z \ge n_0\}$ für ein gewiss
 	Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und mit $e_k(f)$ bezeichnen wir dann den höchsten Koeffizienten von $P_f$.
 \end{defn}
 
-\begin{defn}
-	\label{defn:differenzenoperator}
-	Wir definieren den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
-	\begin{align*}
-		\Delta\colon \map(A,\Z) &\to \map(A,\Z)\\
-		f &\mapsto (\Delta f \colon A \to \Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
-	\end{align*}
-\end{defn}
-
 \begin{lem}
 	\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
 \end{lem}

chapters/chapter3.tex

@@ -15,9 +15,6 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 
 	Ist $M$ ein $A$-Modul, dann bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(x)\otimes_A M$ mit $K(x,M)$.
 	Wir bezeichnen den $i$-ten Homologie-Modul von $K(x,M)$ mit $H^K_i(x, M)$ und, wenn klar ist um welchen Komplex es geht, auch mit $H_i(x, M)$.
-\end{defn}
-
-\begin{lem}
 	Ist $x \in A$ und $M$ ein $A$-Modul, so gilt:
 	\begin{align*}
 		{K(x,M)}_n &= 0 \qquad \text{falls } n \ne 0,1, \\
@@ -28,22 +25,17 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 	\begin{equation*}
 		d\colon {K(x,M)}_1 \to {K(x,M)}_0
 	\end{equation*}
-	ist durch die Formel
+	ist durch die folgende Formel gegeben:
 	\begin{equation*}
 		d(e_x \otimes m) = xm \qquad m \in M
 	\end{equation*}
-	gegeben.
-	
 	Die Homologie-Moduln von $K(x,M)$ sind
 	\begin{align*}
 		H_i(x,M) &= 0 \qquad \text{falls } i \ne 0,1, \\
 		H_0(x,M) &= M/xM, \\
 		H_1(x,M) &= \Ann_M(x) = \ker (x_M\colon M \to M).
 	\end{align*}
-	\begin{proof}
-		Das ist klar nach der Definition von $K(x,M)$.
-	\end{proof}
-\end{lem}
+\end{defn}
 
 \begin{defn}
 	\label{defn:koszul-komplex}
@@ -128,4 +120,22 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
 		\end{align*}
 	\end{proof}
 \end{lem}
-    Ist $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$.
+\begin{defn}[Koszul-Komplex]
+	\label{defn:koszul-komplex-modul}
+	Ist $\bmx = (x_1,\ldots,x_r)$ eine Familie von Elementen aus $A$ und $M$ ein $A$-Modul, so bezeichnen wir den Tensorprodukt-Komplex $K(\bmx)\otimes_A M$ mit $K(\bmx,M)$ oder auch $K(x_1,\ldots,x_r;M)$. Wegen \cref{lem:koszul-komplex-berechnung} gilt
+	\begin{equation*}
+			K_p(\bmx, M) = \bigoplus_{\bmi \in I_p^r}\left( \left(\bigotimes_{i \in \bmi}K_1(x_i)\right) \otimes_A \left(\bigotimes_{i \in \lbrace1, \ldots, r\rbrace \setminus \bmi}K_0(x_i)\right)\otimes_A M\right)
+	\end{equation*}
+	und die Randabbildung $K_p(\bmx, M) \to K_{p - 1}(\bmx, M)$ ist durch folgende Formel gegeben:
+	\begin{equation}
+		\label{eq:koszul-komplex-modul-randabbildung}
+		d(e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p)\text{-mal}} \otimes m) = \sum_{k=1}^p {(-1)}^{k+1} x_{i_k}e_{x_{i_1}}\otimes \cdots \otimes \widehat{e_{x_{i_k}}} \otimes \cdots \otimes e_{x_{i_p}} \otimes \underbrace{1 \otimes \cdots \otimes 1}_{(r - p + 1)\text{-mal}} \otimes m
+	\end{equation}
+	Wir bezeichnen den $p$-ten Homologiemodul von $K(\bmx, M)$ mit $H_p(\bmx, M)$.
+	Wir bezeichnen mit $\bmx$ auch das Ideal $(x_1, \ldots,x_r)$.
+	Offensichtlich gilt:
+	\begin{align*}
+		H_0(\bmx, M) &= M/\left(\bigoplus_{i = 1}^r x_i M \right)  = M/\bmx M \\
+		H_r(\bmx, M) &= \lbrace m \in M \mid x_i m = 0 \text{ für alle } i \rbrace
+	\end{align*}
+\end{defn}

theorem_environments.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 \newtheorem{prop}[thm]{Proposition}
 \newtheorem{lem}[thm]{Lemma}
 \newtheorem{kor}[thm]{Korrolar}
-\newtheorem{propdef}[thm]{Proposition/Definition}
+\newtheorem{deflem}[thm]{Definition/Lemma}
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{defn}[thm]{Definition}
 \newtheorem{nota}[thm]{Notation}
@@ -11,7 +11,7 @@
 \crefname{thm}{Theorem}{Theoreme}
 \crefname{prop}{Proposition}{Propositionen}
 \crefname{kor}{Korrolar}{Korrolare}
-\crefname{propdef}{Proposition/Definition}{Propositionen/Definitionen}
+\crefname{deflem}{Definition/Lemma}{Definitionen/Lemmata}
 \crefname{lem}{Lemma}{Lemmata}
 \crefname{defn}{Definition}{Definitionen}
 \crefname{nota}{Notation}{Notationen}