Weiter mit vervollständigten Tensorprodukten
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@ -41,9 +41,9 @@
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@book{bourbaki2006algebre,
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title={Algèbre commutative: Chapitres 1 à 4},
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title={Algèbre commutative},
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subtitle={Chapitres 1 à 4},
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author={Bourbaki, Nicolas},
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series={Algèbre commutative},
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year={2006},
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publisher={Springer Berlin Heidelberg}
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@ -56,3 +56,13 @@
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23, and IV, 1), 24 (IV, 2–7), 28 (IV, 8–15), 32 ((IV, 16–21)},
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journal={Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques}
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}
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@article{bardavid11aneffective,
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title={An Effective Description of {$k[[X]] \otimes_k k[[Y]]$}},
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author={Bardavid, Colas},
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year={2011},
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volume={5},
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number={18},
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pages={873 - 882},
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journal={International Journal of Algebra},
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@ -257,25 +257,28 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukt
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\label{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt}
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Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
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Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
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Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
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Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
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Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
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Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
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Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
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Wegen $V(\mfm) = V(\mfm^p)$ und $V(\mfn) = V(\mfn^q)$ folgt mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}, dass auch $A/\mfm^p$ und $B/\mfn^q$ von endlicher Länge über $k$ sind.
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Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
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Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
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Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch
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\begin{equation}
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\widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
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\end{equation}
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Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
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\begin{equation}
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M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
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\end{equation}
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Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch
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\begin{equation}
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\widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
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\end{equation}
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Im Fall $i = 0$ erhalten wir das \textbf{vervollständigte Tensorprodukt}
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\begin{equation}
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M \widehat{\otimes}_k N = \varprojlim_{(p, q)} (M / M_p \otimes_k N / N_q).
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\end{equation}
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\end{defn}
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Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\begin{prop}
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\label{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}
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Sei $k$ ein noetherscher Ring und seien $A$ und $B$ noethersche $k$-Algebren.
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Seien $\mfm, \mfn$ Ideale von $A$, beziehungsweise $B$ mit der Eigenschaft, dass $A/\mfm$ und $B/\mfn$ $k$-Moduln von endlicher Länge sind.
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||||
Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
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\begin{enumerate}[(a)]
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\item Es gilt
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\begin{equation}
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@ -312,7 +315,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\end{equation*}
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Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
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Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
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\item Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
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\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
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\begin{align*}
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\cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
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&\to \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N) \\
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@ -322,6 +325,11 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\begin{equation*}
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\cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots.
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\end{equation*}
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\item\label{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} Sei nun $k$ ein regulärer Ring der Dimension $n$ und wir nehmen an, dass $M$ als $k$-Modul betrachtet eine $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ besitzt, das heißt eine $M$-requläre Folge von Elementen aus $\Rad(k)$.
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Dann gilt für alle $i > n - r$:
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\begin{equation*}
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\widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[(a)]
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@ -445,6 +453,91 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N)
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\end{gather*}
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Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist.
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\item Wegen
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\begin{equation*}
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\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = \varprojlim_{n}\widehat{\Tor}^k_i(M, N / \mfq^n N)
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\end{equation*}
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genügt es die Behuptung im Fall $\length_k(N) < \infty$ zu zeigen.
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Ist $i > n$, so gilt für alle $p,q \in \N$, dass $\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) = 0$, also auch $\widehat{\Tor}^k_i(M, N) = 0$.
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Dann liefert uns die kurze exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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\label{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1}\tag{$\ast$}
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0 \longrightarrow M \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} M \to M / a_1 M \to 0
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\end{equation*}
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wegen \cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-lange-exakte-sequenz} die exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_n(M, N).
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\end{equation*}
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Da $\length_k(N) < \infty$ wird die Kette
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\begin{equation*}
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N \supset a_1 N \supset a_1^2 N \supset \cdots
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\end{equation*}
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stationär, das heißt es gibt ein $n_0 \in \N$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n \ge n_0$ gilt:
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\begin{equation*}
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a_1^n N = a_1^{n+1} N
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\end{equation*}
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Da $N$ über $A$ endlich erzeugt ist, folgt mit dem Nakayama-Lemma bereits $a_1^{n_0} N = 0$ und damit auch $a_1^{n_0} \in \Ann_k(\widehat{\Tor}^k_n(M, N))$.
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Sei $n_0$ minimal mit dieser Eigenschaft.
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Angenommen $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \neq 0$, dann gilt $n_0 \ge 1$ und es gibt ein $0 \neq x \in a_1^{n_0 - 1}\widehat{\Tor}^k_n(M, N) \subset \widehat{\Tor}^k_n(M, N)$ mit $a_1 x = 0$ im Widerspruch zur Injektivität der Abbildung $\cdot a_1$, also ist $\widehat{\Tor}^k_n(M, N) = 0$.
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Dies zeigt die Behauptung im Fall $r = 1$.
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Im Fall $r > 1$ ist $\lbrace a_2, \ldots, a_r \rbrace$ eine $(M / a_1)$-Folge der Länge $r - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung angewendet auf $M / a_1$ folgt $\widehat{\Tor}^k_i(M / a_1, N)$ = 0 für alle $i > n - (r - 1)$.
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Wir erhalten also aus \cref{eq:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-sequenz-multiplikation-mit-a1} die exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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0 \longrightarrow \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) \overset{\cdot a_1}{\longrightarrow} \widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N)
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\end{equation*}
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und mit dem gleichen Argument wie oben folgt $\widehat{\Tor}^k_{n - r}(M, N) = 0$.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\end{prop}
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\begin{bem}
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\label{bem:}
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Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn.
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Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
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\end{bem}
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Wir untersuchen nun den für uns wichtigsten Fall, nämlich dass $k$ ein Körper ist,$A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$ und $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$.
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In diesem Fall ist $\widehat{\Tor}^k_i(A, B) = 0$ für $i > 0$, denn denn $B$ trägt eine natürliche $A$-Modul-Struktur und $A$ hat die $A$-Folge $\lbrace X_1, \ldots, X_n \rbrace$.
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Wie wir bereits gesehen haben, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ die $\mfr$-adische Vervollständigung von $A \otimes_k B$ ist, wobei
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\begin{equation*}
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\mfr = (X_1, \ldots, X_n) \otimes_k B + A \otimes_k (Y_1, \ldots, Y_n).
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\end{equation*}
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Sei nun $C = k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ der formale Potenzreihenring in $2n$ Variablen.
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Dann haben wir eine Einbettung
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\begin{align*}
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\phi \colon A \otimes_k B &\to C\\
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f \otimes g & \mapsto fg
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\end{align*}
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(siehe {}\cite[Proposition~3.1]{bardavid11aneffective}) und das Bild von $\mfr$ unter dieser Einbettung ist offensichtlich $(X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$.
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Desweiteren gilt $k[X_1, \ldots, X_n] \subset A$ und $k[Y_1, \ldots, Y_n] \subset B$ und da Polynomringe und formale Potenzreihenringe flach sind, haben wir eine Injektion
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\begin{equation*}
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k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] \hookrightarrow A \otimes_k B \hookrightarrow C,
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\end{equation*}
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der offenbar dem Morphismus
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\begin{align*}
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k[X_1, \ldots, X_n] \otimes_k k[Y_1, \ldots, Y_n] &\to C \\
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f \otimes g & \mapsto fg
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\end{align*}
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entspricht.
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Das Bild dieses Morphismus ist bekannterweise $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, es gilt also $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n] \subset \phi(A \otimes_k B)$.
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Nun ist aber $C$ die $(X_1, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n)$-adische Vervollständigung von $k[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]$, also folgt bereits
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\begin{equation*}
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A \widehat{\otimes}_k B \cong C.
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\end{equation*}
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\begin{prop}
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\label{prop:reduktion-auf-diagonale-diagonale-potenzreihernring}
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Sei $k$ ein Körper und sei $A \cong B \cong k[[X_1, \ldots, X_n]]$, und sei $\mfm \cong \mfn \cong (X_1, \ldots, X_n)$. Sei $C$ der formalen Potenzreihenring $k[[X_y, \ldots, X_n, Y_1, \ldots, Y_n]]$ in $2n$ Variablen.
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Sei $M$ (beziehungsweise $N$) ein endlich erzeugter $A$-Modul (beziehungsweise $B$-Modul) mit einer $\mfm$-stabilen Filtrierung $(M_p)$ (beziehungsweise mit einr $\mfn$-stabilen Filtrierung ($N_q$)).
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Dann gilt
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\begin{equation*}
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\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A).
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\end{equation*}
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\begin{proof}
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Sei $\mfq$ (beziehungsweise $\mfq'$) ein Ideal von $A$ (beziehungsweise $B$) mit $\length_A(A / \mfq) <~\infty$ (beziehungsweise $\length_B(B / \mfq') < \infty$).
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Weiter sei $\mfs$ das von $\mfq$ und $\mfq'$ erzeugte Ideal und wir statten $M$, $N$, $M \widehat{\otimes}_k N$ jeweils mit der $\mfq$-adischen, $\mfq'$-adischen und $\mfs$-adischen Topologie aus.
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Wir betrachten nun die zugehörigen graduierten Moduln $\gr(M)$, $\gr(N)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$.
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\end{proof}
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\end{prop}
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@ -13,6 +13,7 @@
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\newcommand{\mfp}{\mathfrak{p}}
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\newcommand{\mfq}{\mathfrak{q}}
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\newcommand{\mfr}{\mathfrak{r}}
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\newcommand{\mfs}{\mathfrak{s}}
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\newcommand{\mfP}{\mathfrak{P}}
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\newcommand{\mfQ}{\mathfrak{Q}}
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