Weitere Eigenschaften des vervollständigten Tensorprodukts hinzugefügt
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@ -47,3 +47,12 @@
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year={2006},
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publisher={Springer Berlin Heidelberg}
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@article{EGA,
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title={Éléments de géométrie algébrique},
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author={Grothendieck, Alexander and Dieudonné, Jean},
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year={1961--1967},
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volume={4 (Chapter 0, 1–7, and I, 1–10), 8 (II, 1–8), 11 (Chapter 0, 8–13, and III, 1–5), 17 (III, 6–7), 20 (Chapter 0, 14–
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23, and IV, 1), 24 (IV, 2–7), 28 (IV, 8–15), 32 ((IV, 16–21)},
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journal={Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques}
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}
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@ -287,7 +287,41 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\widehat{\Tor}^k_i(M, N) &\cong \varprojlim_{p} \varprojlim_{q}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q) \\
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&\cong \varprojlim_{q}\varprojlim_{p}\Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
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\end{align*}
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\item Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
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\item\label{item:unabhaengig-von-filtrierung} Die Moduln $\widehat{\Tor}^k_i(M, N)$ sind nicht von den gewählten stabilen Filtrierungen von $M$ und $N$ abhängig.
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\item\label{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} Wir haben kanonische Morphismen
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\begin{equation*}
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M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
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\end{equation*}
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und
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\begin{equation*}
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\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
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\end{equation*}
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Weiter ist $M \widehat{\otimes}_k N$ kanonisch isomorph zur $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adischen Vervollsändigung von $M \otimes_k N$.
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\item Der Ring $A \widehat{\otimes}_k B$ ist vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie, wobei
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\begin{equation*}
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\mfr = \mfm \widehat{\otimes}_k B + A \widehat{\otimes}_k \mfn.
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\end{equation*}
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Allgemeiner ist $\widehat{\Tor}^i_k(M, N)$ vollständig bezüglich der der $\mfr$-adischen Topologie.
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Es gilt
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\begin{equation*}
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(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)
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\end{equation*}
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und
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\begin{equation*}
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(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
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\end{equation*}
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Weiter ist $A \widehat{\otimes}_k B$ noethersch und $M \widehat{\otimes}_k N$ ist ein endlich erzeugter $(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
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Außerdem korrespondieren die Maximalideale in $A \widehat{\otimes}_k B$ mit den Maximalidealen in $A / \mfm \otimes_k B / \mfn$.
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\item Ist $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten $A$-Moduln, dann erhalten wir durch die exakten Sequenzen
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\begin{align*}
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\cdots &\to \Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N) \\
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&\to \Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N) \\
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&\to \Tor^k_{n - 1}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N) \to \cdots
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\end{align*}
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eine exakte Sequenz
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\begin{equation*}
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\cdots \to \widehat{\Tor}^k_n(M, N) \to \widehat{\Tor}^k_n(M'', N) \to \widehat{\Tor}^k_{n - 1}(M', N) \to \cdots.
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\end{equation*}
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}[(a)]
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@ -364,6 +398,53 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
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\Phi^{-1} \colon \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M'_p, N / N_q) \to \varprojlim\limits_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q)
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\end{equation*}
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und das übliche Argument zu universellen Eigenschaften liefert uns, dass diese beiden Morphismen tatsächlich zueinander inverse Isomorphismen sind.
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\item Die Morphismen $M \to M / M_p$ und $N \to N / N_q$ liefern wegen der universellen Eigenschaft des projektiven Limes die Morphismen $M \to \varprojlim\limits_p(M / M_p)$ und $N \to \varprojlim\limits_q(N / N_q)$ und wir erhalten einen Morphismus
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\begin{equation*}
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M \otimes_k N \to \varprojlim_{p}(M / M_p) \otimes_k \varprojlim_{q}(N / N_q) \cong \hat{M} \otimes_k \hat{N}
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\end{equation*}
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wie gewünscht.
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Die kanonischen Morphismen $\hat{M} \cong \varprojlim\limits_p (M / M_p) \to M / M_p$ und $\hat{N} \cong \varprojlim\limits_q (N / N_q) \to N / N_q$
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liefern uns Morphismen
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\begin{equation*}
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\hat{M} \otimes_k \hat(N) \to M / M_p \otimes_k N / N_q
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\end{equation*}
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und die universelle Eigenschaft des projektiven Limes liefert uns wie gewünscht den Morphismus
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\begin{equation*}
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\hat{M} \otimes_k \hat{N} \to M \widehat{\otimes}_k N.
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\end{equation*}
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Nach \cref{item:unabhaengig-von-filtrierung} Können wir zur Berechnung von $M \widehat{\otimes}_k N$ die $\mfm$-adische Filtrierung auf $M$ und die $\mfn$-adische Filtrierung auf $N$ verwenden.
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Folglich gilt:
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\begin{align*}
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M \widehat{\otimes}_k N &\cong \varprojlim_{p, q} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^q N) \\
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&\cong \varprojlim_{p} (M / \mfm^p M \otimes_k N / \mfn^p N) \\
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&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p M \otimes_k N + M \otimes_k \mfn^p N)) \\
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&\cong \varprojlim_{p} ((M \otimes_k N) / (\mfm^p \otimes_k B +A \otimes_k \mfn^p)(M \otimes_k N)) % TODO: Wie gehts weiter...?
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\end{align*}
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\item Da das vervollständigte Tensorprodukt mit Summen kompatibel ist, ist $\mfr$ nach \cref{item:vollstaendigkeit-vervollstaendigtes-tensorprodukt} die $(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$-adische Vervollsändigung von $\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfm$, also ist $A \widehat{\otimes}_k B$ vollständig bezüglich der $\mfr$-adischen Topologie.
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% TODO: Tor?
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Es gilt also auch
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\begin{equation*}
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(A \widehat{\otimes}_k B) / \mfr \cong (A \otimes _k) / (\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)
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\cong (A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn).
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\end{equation*}
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Analog folgt
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\begin{equation*}
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(M \widehat{\otimes}_k N) / \mfr (M \widehat{\otimes}_k N) \cong (M / \mfm M) \otimes_k (N / \mfn N).
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\end{equation*}
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Da $\mfr$ endlich erzeugt ist, %TODO: Warum?
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und $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ auch noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
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Es gilt $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$, also ist $\gr(M \widehat{\otimes}_k N)$ endlich erzeugt und es folgt, dass auch $M \widehat{\otimes}_k N$ endlich erzeugt ist (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
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%TODO: Maximalideale?
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\item Die Moduln $M / \mfm^p M$, $M'' / \mfm^p M''$, $M' / M' \cap \mfm^p M$ und $N / \mfn^q N$ sind von endlicher Länge, wie wir in \cref{defn:vervollstaendigtes-tensorprodukt} bereits gesehen haben.
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Da sie endlich erzeugt sind, sind sie insbesondere auch artinsch und es folgt, dass auch die folgenden Moduln für alle $n \in \N$ artinsch sind:
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\begin{gather*}
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\Tor^k_n(M / \mfm^p M , N / \mfn^q N),\\
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\Tor^k_n(M'' / \mfm^p M'' , N / \mfn^q N), \\
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\Tor^k_{n}(M' / M' \cap \mfm^p M , N / \mfn^q N)
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\end{gather*}
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Also erfüllen sie die \emph{Mittag-Leffler-Bedingung} (siehe {}\cite[Chapter~0, 13.1.2]{EGA}) und mit {}\cite[Chapter~0, Proposition~13.2.2]{EGA} folgt, dass die Sequenz wie gewünscht exakt ist.
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\end{prop}
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