Korrekturen bis Koszul-Komplex
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\documentclass[paper=a4,parskip=half,11pt,ngerman,oneside,bibliography=totoc, draft=true]{scrbook}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{hyperref}
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\input{custom_commands}
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\begin{document}
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\frontmatter
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\include{title}
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\tableofcontents
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\include{chapters/einleitung}
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\mainmatter
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\include{chapters/chapter1}
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\backmatter
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\emergencystretch=1em
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\printbibliography
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% -*- root: ../Ausarbeitung.tex -*-
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\chapter{Einleitung}
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\label{cha:einleitung}
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\chapter{Hilbert-Samuel-Polynome}
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\label{cha:hilbert-samuel-polynome}
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Die Schnitmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
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Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Besipiel {}\cite{fulton1998intersection}).
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In diesem Kapitel wollen Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals bezüglich eines Moduls einführen.
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Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen beweisen.
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Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
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Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
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\section{Ganzzahlige Polynome}
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\label{sec:ganzzahlige-polynome}
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\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Pierre Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt bezüglich eines endlich erzeugten Moduls, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
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Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
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Als Ergebnis erhalten wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht.
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\begin{defn}[Binomialpolynom]
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\label{defn:binomialpolynom}
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Für $k \in \N$ definieren wir das \textbf{$\bm{k}$-te Binomialpolynom} durch
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\begin{equation*}
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Q_k(X) = \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i = 1}^k (X - k + i) \in \Q[X].
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\end{equation*}
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Offensichtlich bilden die Binomialpolynome eine $\Q$-Basis von $\Q[X]$.
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\end{defn}
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Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
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Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
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Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls $M$. Dabei muss $\mfq$ im Maximalideal von $A$ enthalten sein und die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen.
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In diesem Fall gilt dann
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\begin{defn}[Differenzenoperator]
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\label{defn:differenzenoperator}
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Sei $Z$ eine abelsche Gruppe und $A \subset \Q$ mit der Eigenschaft
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\begin{equation*}
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n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
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\end{equation*}
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Dann definieren wir den \textbf{Differenzenoperator} $\Delta$ durch:
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\begin{align*}
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\Delta\colon \map(A,Z) &\to \map(A,Z)\\
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f &\mapsto (\Delta f \colon A \to Z,\, n \mapsto f(n+1) - f(n))
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\end{align*}
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Offensichtlich ist $\Delta$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen.
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\end{defn}
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\begin{lem}
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\label{lem:berechnung-r-facher-differenzenoperator}
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Sei $Z$ eine abelsche Gruppe, $A\subset \Q$ mit der Eigenschaft
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\begin{equation*}
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n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A
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\end{equation*}
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und $f\colon A \to Z$ eine Abbildung.
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Sind $n \in \Q$ und $r\in \N$ mit $n - r \in A$, so gilt
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\begin{equation*}
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\Delta^r f(n - r) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
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\end{equation*}
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\begin{proof}
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Wir beweisen die Behauptung durch Induktion über $r$. Ist $r = 0$, so gilt
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\begin{equation*}
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\Delta^r f(n - r) = f(n) = {(-1)}^0 \binom{0}{0} f(n - 0) = \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p).
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\end{equation*}
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Sei also nun $r > 0$ und die Behauptung für $r - 1$ bewiesen, dann gilt:
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\begin{align*}
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\Delta^r f(n - r) &= \Delta^{r-1} \Delta f(n - r)\\
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&= \Delta^{r-1} \Delta f((n - 1) - (r - 1))\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Delta f((n - 1) - p)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} \Big(f\big((n - 1) - p + 1\big) - f((n - 1) - p\big)\Big)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) - \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p - 1)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r - 1} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p} f(n - p) + \sum_{p = 1}^{r} {(-1)}^p \binom{r - 1}{p - 1} f(n - p)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^{r} {(-1)}^p \left(\binom{r - 1}{p} + \binom{r - 1}{p - 1}\right) f(n - p)\\
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||||
&= \sum_{p = 0}^r {(-1)}^p \binom{r}{p} f(n - p)
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\end{align*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{lem}
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\label{lem:differenzenoperator-binomialpolynom}
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Für $k \in \N$ mit $k > 0$ gilt
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\begin{equation*}
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\Delta Q_k = Q_{k - 1}.
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\end{equation*}
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\begin{proof}
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Es gilt
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\begin{equation*}
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\Delta Q_k(n) = Q_k(n + 1) - Q_k(n) = \binom{n + 1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k - 1} = Q_{k - 1}(n).
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\end{equation*}
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{deflem}[Ganzzahliges Polynom]
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\label{deflem:ganzzahliges-polynom}
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Ein Polynom $f \in \Q[X]$ heißt \textbf{ganzzahlig}, wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item $f$ ist eine $\Z$-Linearkombination von Binomialpolynomen $Q_k$.
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\item Für alle $z \in \Z$ gilt $f(z) \in \Z$.
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\item Es gibt ein $z_0 \in \Z$ mit der Eigenschaft, dass $f(z) \in \Z$ für alle $z \ge z_0$.
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\item $\Delta f$ besitzt die Eigenschaft aus (a) und es gibt mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$.
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\end{enumerate}
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Ist $f$ solch ein Polynom, dann bezeichnen wir mit $e_k(f)$ den Koeffizienten von $Q_k$ in der Darstellung $f = \sum_{n \in \N} e_k Q_k$.
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\begin{proof}[Beweis der Äquivalenz]
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Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) und (a) $\Rightarrow$ (d) sind klar.
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Sei also umgekehrt (d) wahr. Da die Binomialpolynome $Q_k$ eine Basis von $\Q[X]$ bilden, gibt es eine eindeutige Darstellung $f = \sum_{k \in \N} e_k Q_k$ mit ${(e_k)}_{k \in \N} \in \Q^{(\N)}$.
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Es gilt also $\Delta f = \sum_{k > 0} e_k Q_{k - 1}$ und weil auch die Darstellung von $\Delta f$ eindeutig ist und $\Delta f$ (a) erfüllt, folgt $e_k \in \Z$ für $k > 0$.
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Da es mindestens ein $z \in \Z$ mit $f(z) \in \Z$ gibt, folgt auch $e_0 \in \Z$.
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Also sind (a) und (d) äquivalent.
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Um die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) zu zeigen, nutzen wir Induktion über den Grad von $f$.
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Ist $f$ vom Grad $0$, so ist $f$ konstant und wegen (c) gilt dann $f \in \Z$ und damit (a).
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Sei also nun $f$ vom Grad $d > 0$ und die Behauptung wahr für Polynome vom Grad $< d$.
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Offensichtlich gilt $\deg \Delta f < \deg f$ und auch $\Delta f$ erfüllt (c).
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Also erfüllt $\Delta f$ (a) und damit erfüllt $f$ (d).
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\end{proof}
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\end{deflem}
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Ist $f \in \Q[X]$ ein ganzzahliges Polynom, dann gilt für $k > 0$ offensichtlich $e_k(f) = e_{k - 1}(\Delta f)$.
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Insbesondere ist $e_k(f)$ für $\deg(f) \le k$ das konstante Polynom $\Delta^k f$ und es gilt
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast$}\label{eq:einleitung-samuel-koszul}
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e_\mfq(M, r) = \sum_{i = 0}^r \length_A(H_i(\bmx, M)),
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f(X) = e_k(f) \frac{X^k}{k!} + g(x),
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\end{equation*}
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wobei die $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigem Koszul-Komplexes sind.
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In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden.
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Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt.
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Die \emph{Reduktion auf die Diagonale} stellt für fast alle folgenden Ergebnisse ein sehr wichtiges Prinzip dar, deswegen wird sie beispielhaft im Fall affiner irreduzibler Varietäten erläutert.
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Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \enquote{Dimensionsformel} der algebraischen Geometrie gezeigt: Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten eines affinen Raums und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, so gilt
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wobei $g(x) \in \Q[X]$ mit $\deg(g) < k$.
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Ist $\deg(f) = k$, so gilt
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\begin{equation*}
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\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
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f(n) \sim e_k(f) \frac{n^k}{k!} \qquad \text{für } n \to \infty.
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\end{equation*}
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Es folgt, dass $e_k(f)$ genau dann $> 0$ ist, wenn es ein $z_0 \in \Z$ gibt, sodass $f(z) > 0$ für alle $z \ge z_0$ gilt.
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\section{Polynomartige Funktionen}
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\label{sec:polynomartige-funktionen}
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Im Folgenden sei $A \subset \Z$ mit der Eigenschaft
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\begin{equation*}
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n \in A \Longrightarrow n + 1 \in A.
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\end{equation*}
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Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\widehat{\otimes}$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt:
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
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\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A),
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\end{equation*}
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wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
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\begin{defn}[Polynomartige Funktion]
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\label{defn:polynomartige-funktionen}
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Eine Funktion $f\colon A \to \Z$ heißt \textbf{polynomartig}, wenn es ein Polynom $P_f \in \Q[X]$ gibt, das folgende Eigenschaft erfüllt:
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Es gibt ein $m \in \Z$ mit der Eigenschaft $f(n) = P_f(n)$ für alle $n \ge m$.
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Gibt es solch ein Polynom, so ist es offensichtlich eindeutig durch $f$ bestimmt und ganzzahlig.
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Wenn $k$ der Grad von $P_f$ ist, so sagen wir auch, dass $f$ Grad $k$ hat und schreiben $e_k(f)$ anstatt von $e_k(P_f)$.
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\end{defn}
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Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
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\begin{lem}
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\label{lem:kritreium-fuer-polynomartig}
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Sei $f\colon A \to \Z$ eine Abbildung, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item $f$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
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\item $\Delta f$ ist polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
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\item Für alle $s \ge r + 1$ gibt es ein $m \in \Z$, sodass für alle $n \ge m$ gilt: $\Delta^s f(n) = 0$.
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\end{enumerate}
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\begin{proof}
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Die Implikationen (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c) sind klar.
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Sei also nun (b) wahr.
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Sei $R = \sum_{k \in \N} e_k(P_{\Delta f}) Q_{k+1}$, dann ist $R$ vom Grad $\le r$ und es gilt $\Delta R = P_{\Delta f}$.
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Betrachte die Abbildung $g \colon A \to \Z,\, z \mapsto f(z) - R(z)$.
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Für $z$ groß genug gilt dann:
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\begin{equation*}
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\Delta g(z) = \Delta f(z) -\Delta R(z) = \Delta f(z) - P_{\Delta f}(z) = 0
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\end{equation*}
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Das bedeutet, für $z$ groß genug ist $g(z) = e_0 \in \Z$ und es folgt $f(z) = R(n) + e_0$ für $z$ groß genug.
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Also ist $f$ polynomartig vom Grad $\le r$.
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Die Implikation (c) $\Rightarrow$ (a) folgt durch Induktion über $r$ und Verwendung der Implikation (b) $\Rightarrow$ (a).
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\end{proof}
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\end{lem}
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\section{Das Hilbert-Polynom}
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\label{sec:das-hilbert-polynom}
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Im Folgenden sei nun $H=\bigoplus_{n \in \N} H_n$ ein graduierter Ring mit folgenden Eigenschaften:
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
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\item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
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\item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
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\item $H_0$ ist artinsch.
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\item $H$ wird von $H_0$ und einer endlichen Anzahl an Elementen $x_1,\ldots,x_r \in H_1$ erzeugt.
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\end{enumerate}
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Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lokale Ringe gleicher Charakteristik kann man dieses Theorem nun auch auf den Fall verallgemeinern, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist.
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Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist.
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\cref{sec:Ausblick} gibt einen kurzen Überblick darüber, welche Resultate in diesem Zusammenhang bereits beweisen wurden.
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Es gilt dann $H \cong H_0[X_1,\ldots,X_r]/I$, wobei $I \subset H_0[X_1,\ldots,X_r]$ ein homogenes Ideal ist.
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Da $H_0[X_1,\ldots,X_r]$ nach dem Hilbertschen Basissatz noethersch ist, ist es also auch $H$.
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Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen geometrie, denn is $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
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Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$, in der sich $U$ ind $V$ eigentlich schneiden, das heißt
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Sei $M = \bigoplus_{n \in \N} M_n$ ein endlich erzeugter graduierter $H$-Modul.
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$M$ ist noethersch, also ist für alle $n \in \N$ der $H$-Untermodul $M_{\ge n} \coloneqq \bigoplus_{i \ge n} M_n$ endlich erzeugt.
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Nun gilt aber $M_n \cong M_{\ge n}/M_{\ge n+1}$, also ist auch $M_n$ ein endlich erzeugter $H$-Modul und damit auch ein endlich erzeugter $H/\Ann(M_n)$- Modul.
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Es gilt $\bigoplus_{n \ge 1} H_n \subset \Ann(M_{\ge n}/M_{\ge_{n+1}})$, also haben wir folgende Surjektion:
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\begin{equation*}
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\dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W).
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H_0 \cong H/\left(\bigoplus_{n\ge 1}H_n\right) \twoheadrightarrow H/\Ann(M_{\ge n}/M_{\ge n+1}) \cong H/\Ann(M_n).
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\end{equation*}
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Seien außerdem $A$, $A_U$ und $A_V$ die lokalen Ringe von $X$, $U$ und $V$ bei $W$.
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Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, dann gilt
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast\ast\ast$}\label{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet}
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i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
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||||
\end{equation*}
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Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
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Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnittheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
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Folglich ist $M_n$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und somit artinsch und noethersch.
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Folglich ist er von endlicher Länge und wir können folgende Abbildung definieren:
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\begin{align*}
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\chi(M,\bullet) \colon \N &\to \N \\
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n &\mapsto \chi(M,n) \coloneqq \length_{H_0}(M_n)
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\end{align*}
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||||
Dabei ist $\length_{H_0}(M_n)$ die Länge von $M_n$ als $H_0$-Modul.
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Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
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So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.
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\begin{thm}[Hilbert]
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\label{thm:hilbert-polynomial}
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Die Abbildung $\chi(M,\bullet)$ ist polynomartig vom Grad $\le r-1$.
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\begin{proof}
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Da jeder endlich erzeugte graduierte $H$-Modul auch ein endlich erzeugter graduierter $H_0[X_1,\ldots,X_r]$-Modul ist, dürfen wir $H = H_0[X_1,\ldots,X_r]$ annehmen.
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Wir beweisen die Behauptung nun durch Induktion über $r$.
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Im Fall $r = 0$ ist $M$ ein endlich erzeugter $H_0$-Modul und damit von endlicher Länge.
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Es gilt $M_n = 0$ für große $n$ und damit ist $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $-\infty < -1$.
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Wir nehmen nun $r > 0$ an und, dass die Behauptung für $r - 1$ bereits gezeigt wurde.
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Seien $N$ und $R$ der Kern und der Kokern des Endomorphismus $\Phi\colon M \to M,\, m \mapsto X_r \cdot m$.
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Das sind graduierte Moduln und wir erhalten die folgenden exakten Sequenzen:
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\begin{equation*}
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0 \to N_n \to M_n \overset{\Phi}{\to}M_{n+1} \to R_{n+1} \to 0
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\end{equation*}
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Es folgt
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\begin{equation*}
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||||
\Delta\chi(M,n) = \chi(M,n+1) - \chi(M,n) = \chi(R,n+1) -\chi(N,n).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Wegen $X_r R = X_r N = 0$ können wir $R$ und $N$ als graduierte $H_0[X_1,\ldots,X_{r-1}]$-Moduln betrachten.
|
||||
Nach der Induktionsvoraussetzung sind dann $\chi(R,\bullet)$ und $\chi(N,\bullet)$ polynomartige Funktionen vom Grad $\le r-2$, also auch $\Delta\chi(M,\bullet)$.
|
||||
Nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist dann $\chi(M,\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
|
||||
\end{proof}
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||||
\end{thm}
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||||
|
||||
\begin{nota}
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||||
\label{nota:hilbert-polynomial}
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||||
Das Polynom $P_{\chi(M,\bullet)}$ heißt \textbf{Hilbert-Polynom} und wird auch mit $Q(M)$ bezeichnet.
|
||||
Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $Q(M,n)$.
|
||||
Offensichtlich gilt $Q(M) = 0$ genau dann, wenn $\length_{H_0}(M) < \infty$.
|
||||
\end{nota}
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||||
|
||||
\section{Das Samuel-Polynom}
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||||
\label{sec:das-samuel-polynom}
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||||
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul.
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||||
|
||||
\begin{lem}
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||||
\label{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
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||||
Es gilt $\length_A(M) < \infty$ genau dann, wenn alle Elemente in $\Supp(M)$ maximale Ideale sind.
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||||
\begin{proof}
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||||
{}\cite[Corollary~2.17]{eisenbud2004commutative}.
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||||
\end{proof}
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||||
\end{lem}
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||||
|
||||
Sei nun $\mfq$ ein Ideal von $A$.
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||||
Da $A$ noethersch ist, wird $\mfq$ von $r$ Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
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||||
Wir nehmen zusätzlich Folgendes an:
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||||
\begin{equation}
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||||
\label{eq:laenge-kleiner-unendlich}
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||||
\length_{A}(M/\mfq M) < \infty.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} äquivalent zu:
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||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:elemente-in-supp}
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||||
\text{Alle Elemente in }\Supp(M) \cap V(\mfq)\text{ sind maximale Ideale.}
|
||||
\end{equation}
|
||||
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||||
|
||||
Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $M$, das heißt
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||||
\begin{align*}
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||||
&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
|
||||
&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
|
||||
&M_i = \mfq M_{i-1} \text{ für große i.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wegen $V(\mfq) = V(\mfq^n)$ für alle $n > 0$ sind die $A$-Moduln $M/\mfq^n M$ von endlicher Länge und wegen $M_n \supset \mfq^n M$ auch die $A$-Moduln $M/M_n$.
|
||||
Demnach ist die Abbildung
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||||
\begin{align*}
|
||||
f_M \colon \N &\to \N \\
|
||||
n &\mapsto \length_{A}(M/M_n)
|
||||
\end{align*}
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||||
wohldefiniert.
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||||
|
||||
\begin{thm}[Samuel]
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||||
\label{thm:samuel-polynom}
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||||
Die Abbildung $f_M$ ist polynomartig vom Grad $\le r$.
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||||
\begin{proof}
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||||
Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen:
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||||
Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $\mfq$ in $A'$.
|
||||
Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung auf $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
|
||||
|
||||
Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch.
|
||||
Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
H = \gr(A) = \bigoplus_{n\in \N} \mfq^n/\mfq^{n+1}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wird von $H_0 = A/\mfq$ und den Elementen $x_1,\ldots,x_r$ erzeugt.
|
||||
Weiter ist
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||||
\begin{equation*}
|
||||
\gr(M) = \bigoplus_{n\in \N} M_n/M_{n+1}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
ein graduierte $H$-Modul.
|
||||
Nach Voraussetzung gibt es ein $n_0\in \N$ mit $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge n_0$, also wird $\gr(M)$ von
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||||
\begin{equation*}
|
||||
M_0/M_1 \oplus \cdots \oplus M_{n_0}/M_{n_0+1}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
erzeugt.
|
||||
Für alle $i\in \N$ ist wegen der Injektion $M_i/M_{i+1} \hookrightarrow M/M_{i+1}$, und weil $M/M_{i+1}$ noethersch is, auch $M_i/M_{i+1}$ noethersch.
|
||||
Insbesondere ist also $M_i/M_{i+1}$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und wegen $\mfq \subset \Ann(M_i/M_{i+1})$ auch ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul.
|
||||
Also ist $\gr(M)$ ebenfalls ein endlich erzeugter $A/\mfq$-Modul und damit insbesondere ein endlich erzeugter $\gr(A)$-Modul.
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||||
Nach \cref{thm:hilbert-polynomial} ist dann die Abbildung $\chi(\gr(M),\bullet)$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$.
|
||||
Es gilt
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||||
\begin{align*}
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||||
\Delta f_M(n) &= \length_A(M/M_{n+1}) - \length_A(M/M_n) \\
|
||||
&= \length_A(M_n/M_{n+1}) \\
|
||||
&= \length_{A / \mfq}(M_n/M_{n+1}) \\
|
||||
&= \chi(\gr(M), n),
|
||||
\end{align*}
|
||||
also ist $\Delta f_M$ polynomartig vom Grad $\le r - 1$ und nach \cref{lem:kritreium-fuer-polynomartig} ist $f_M$ dann polynomartig vom Grad $\le r$.
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||||
\end{proof}
|
||||
\end{thm}
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||||
|
||||
\begin{bem}
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||||
\label{bem:samuel-polynom}
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||||
Das Polynom $P_{f_M}$ heißt \textbf{Samuel-Polynom} und wird im Folgenden auch mit $P((M_i))$ bezeichnet.
|
||||
Seinen Wert bei einer ganzen Zahl $n$ schreiben wir auch als $P((M_i),n)$.
|
||||
Der Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} zeigt
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||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:zusammenhang-hilbert-samuel}
|
||||
\Delta P((M_i)) = Q(\gr(M)),
|
||||
\end{equation}
|
||||
wobei $\gr(M)$ der zur Filtrierung $(M_i)$ assozierte graduierte Modul ist.
|
||||
|
||||
Ist $(M_i)$ die $\mfq$-adische Filtrierung auf $M$, so schreiben wir auch $P_\mfq(M)$ anstatt von $P((\mfq^i M))$.
|
||||
Das nächste Lemma liefert einen Zusammenhang zwischen dem allgemeinen und dem $\mfq$-adischen Fall:
|
||||
\end{bem}
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||||
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||||
\begin{lem}
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||||
\label{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch}
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||||
Es gilt \begin{equation*}
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||||
P_\mfq(M) = P((M_i)) + R,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(M)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $m \ge 0$, sodass $M_{n+1} = \mfq M_n$ für alle $n \ge m$.
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||||
Für alle $n \ge 0$ gilt dann
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||||
\begin{equation*}
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||||
\mfq^{n+m} M \subset M_{n+m} = \mfq^n M_m \subset \mfq^n M \subset M_n,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
also gilt für große $n$:
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||||
\begin{equation*}
|
||||
P_\mfq(M, n+m) \ge P((M_i), n+m) \ge P_\mfq(M, n) \ge P((M_i), n)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Demnach müssen $P_\mfq(M)$ und $P((M_i))$ den gleichen führende Term haben.
|
||||
Außerdem folgt für große $n$ auch $P_\mfq(M, n) - P((M_i), n) \ge 0$, das bedeutet der führende Koeffizient von $P_\mfq(M) - P((M_i))$ muss $\ge 0$ sein.
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||||
\end{proof}
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||||
\end{lem}
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||||
|
||||
\begin{prop}
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||||
\label{prop:samuel-polynom-additivitaet}
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||||
Ist
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||||
\begin{equation*}
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||||
0 \to N \to M \to P \to 0
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||||
\end{equation*}
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||||
eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
P_\mfq(M) = P_\mfq(N) + P_\mfq(P) - R,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ ist, dessen führender Koeffizient $\ge 0$ ist.
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$.
|
||||
Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Demnach gilt für alle $n \ge 0$
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(N / N_n) + \length_A(P / \mfq^n P),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
also
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||||
\begin{equation*}
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||||
P_\mfq(M) = P_\mfq((N_i)) + P_\mfq(P).
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Nach \cref{lem:samuel-polynom-allgemein-und-q-adisch} gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
P((N_i)) = P_\mfq(N) + R,
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ ist, dessen führender Koeffizient $\ge 0$ ist.
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||||
Dies zeigt die Behauptung.
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||||
\end{proof}
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||||
\end{prop}
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||||
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||||
\begin{nota}
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||||
\label{nota:samuel-polynom-koeffizient}
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||||
Ist $d$ eine ganze Zahl $\ge \deg(P_\mfq(M))$, dann bezeichnen wir mit $e_\mfq(M, d)$ die ganze Zahl $\Delta^d P_\mfq(M)$.
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||||
Es gilt:
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||||
\begin{align*}
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||||
e_\mfq(M, d) &= 0 \qquad \text{falls } d > \deg(P_\mfq(M)) \\
|
||||
e_\mfq(M, d) &\ge 1 \qquad \text{falls } d = \deg(P_\mfq(M))
|
||||
\end{align*}
|
||||
Ist $d = \deg(P_\mfq(M))$, so gilt außerdem
|
||||
\begin{equation}
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||||
P_\mfq(M, n) \sim e_\mfq(M, d) \frac{n^d}{d!} \qquad \text{für } n \to \infty.
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{nota}
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||||
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||||
\begin{kor}
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||||
\label{kor:samuel-polynom-koeffizient-additivitaet}
|
||||
Ist
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||||
\begin{equation*}
|
||||
0 \to N \to M \to P \to 0
|
||||
\end{equation*}
|
||||
eine kurze exakte Sequenz von $A$-Moduln mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, $\length_A(N / \mfq N) < \infty$ und $\length_A(P / \mfq P) < \infty$, dann gilt für $d \ge \deg(P_\mfq(M))$:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
e_\mfq(M, d) = e_\mfq(N, d) + e_\mfq(P, d)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\begin{proof}
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||||
Dies folgt unmittelbar aus \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}.
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||||
\end{proof}
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||||
\end{kor}
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||||
|
||||
\begin{prop}
|
||||
\label{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q}
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||||
Sind $\mfq, \mfq'$ Ideale von $A$ mit $\length_A(M/\mfq M) < \infty$ und $\length_A(M/\mfq' M) <~\infty$ und gilt zusätzlich
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M) \cap V(\mfq'),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
dann gilt
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\deg(P_\mfq(M)) = \deg(P_{\mfq'}(M)).
|
||||
\end{equation*}
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||||
\begin{proof}
|
||||
Wie im Beweis von \cref{thm:samuel-polynom} können wir $\Ann(M) = 0$ annehmen, also gilt
|
||||
\begin{equation*}
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||||
V(\mfq) = \{\mfm_1,\ldots,\mfm_s\} = V(\mfq'),
|
||||
\end{equation*}
|
||||
wobei die $\mfm_i$ maximale Ideal von $A$ sind.
|
||||
Dann gibt es eine ganze Zahl $m > 0$ mit $\mfq^m \subset \mfq'$ und für alle $n \ge 0$ folgt $\mfq^{nm} \subset {\mfq'}^n$.
|
||||
Für große $n$ gilt demnach
|
||||
\begin{equation*}
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||||
P_\mfq(M, mn) \ge P_{\mfq'}(M,n)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und es folgt $\deg P_\mfq(M) \ge \deg P_{\mfq'}(M)$.
|
||||
Durch Vertauschen der Rollen von $\mfq$ und $\mfq'$ erhalten wir auch $\deg P_\mfq(M) \le \deg P_{\mfq'}(M)$ und damit $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
\end{prop}
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||||
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||||
\section{Dimensionstheorie noetherscher lokaler Ringe}
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||||
\label{sec:dimensionstheorie-noetherscher-lokaler-ringe}
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||||
Im Folgenden sei $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$.
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||||
Sei außerdem $M \neq 0$ ein endlich erzeugter $A$-Modul und $\mfq \subset \mfm$ ein Ideal in $A$ mit $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
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||||
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||||
Wir bezeichnen mit $d(M)$ den Grad von $P_\mfq(M)$.
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||||
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von $\mfq$ mit den obigen Eigenschaften, denn ist $\mfq'$ ein weiteres solches Polynom, dann gilt nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge}
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||||
\begin{equation*}
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||||
\Supp(M) \cap V(\mfq') = \Supp(M / \mfq' M) = \lbrace \mfm \rbrace = \Supp(M / \mfq M) = \Supp(M) \cap V(\mfq).
|
||||
\end{equation*}
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||||
Nach \cref{prop:samuel-polynom-grad-unabhaengig-von-q} folgt also $\deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfq'}(M)$.
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||||
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||||
Weiter bezeichnen wir mit $s(M)$ die kleinste natürliche Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es $x_1, \ldots, x_n \in \mfm$ gibt, sodass $\length_A(M / (x_1, \ldots, x_n) M)$ endlich ist.
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||||
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||||
Wir wollen nun $\dim(M) = d(M) = s(M)$ zeigen. Dies ist das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugter Moduln über noetherschen lokalen Ringen.
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\begin{lem}
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||||
\label{lem:d-kleinergleich-s}
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||||
Es gilt $d(M) \le s(M)$.
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\begin{proof}
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||||
Nach der Definition von $s(M)$ gibt es ein Ideal $\mfa \subset \mfm$ von $A$, das von $s(M)$ Elementen erzeugt wird, mit $\length_A(M / \mfa M) < \infty$.
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||||
Demnach gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
d(M) = \deg P_\mfq(M) = \deg P_{\mfa}(M)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
und nach \cref{thm:samuel-polynom} folgt $d(M) \le s(M)$.
|
||||
\end{proof}
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||||
\end{lem}
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||||
|
||||
\begin{lem}
|
||||
\label{lem:dim-kleinergleich-d}
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||||
Es gilt $\dim(M) \le d(M)$.
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||||
\begin{proof}
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||||
Wir zeigen die Behauptung durch Induktion über $d(M)$.
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||||
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||||
Im Fall $d(M) = 0$ ist $P_\mfq(M)$ konstant.
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||||
Es gibt ein $k \in \N$, mit der Eingeschaft, dass $P_\mfq(M, n) = \length_A(M / \mfq^n M)$ für alle $n \ge k $ gilt, also gilt $\length_A(M / \mfq^n M) = \length_A(M / \mfq^{n + 1} M)$ für alle $n \ge k$.
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||||
Betrachte nun folgende kurze exakte Sequenz:
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||||
\begin{equation*}
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||||
0 \to \mfq^n M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^{n + 1} M \to M / \mfq^n M \to 0
|
||||
\end{equation*}
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||||
Da die Länge auf kurzen exakten Sequenzen additiv ist, folgt also $\length_A(\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M) =~0$ und damit $\mfq^n M / \mfq^{n + 1} M = 0$, also $\mfq^n M \cong \mfq^{n + 1} M$.
|
||||
Wegen $\mfq \subset \mfm = \Rad(A)$ gilt nach dem Nakayama Lemma $\mfq^n M = 0$ für alle $n \ge k$.
|
||||
Sei nun $\mfp \in \Supp(M)$, dann gilt $\mfp \supset \Ann_A(M) \supset \mfq^k$.
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||||
Da $\mfp$ prim ist, folgt $\mfp \supset \mfq$ und damit $\mfp \in \Supp(M / \mfq M)$.
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||||
Nach Voraussetzung ist aber $\length_A(M / \mfq M) < \infty$, mit \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} folgt also, dass $\mfp$ maximal ist.
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||||
Demnach sind alle Primideale von $A/\Ann_A(M)$ maximal und folglich gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
\dim(M) = \dim(A/\Ann_A(M)) = 0.
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||||
\end{equation*}
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||||
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||||
Sei nun also $d(M) = n \ge 1$ und die Behauptung bereits für $n - 1$ gezeigt.
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||||
Sei nun $\mfp_0 \in \Supp(M)$ minimal mit $\dim(M) = \dim(A/\mfp_0)$.
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||||
Dann gibt es einen Untermodul $N$ von $M$ mit $N \cong A/\mfp_0$ (siehe {}\cite[Chapter~I, Theorem~1]{serre2000local}).
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||||
Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet}
|
||||
gilt dann $d(N) \le d(M)$, wir können also $M = A / \mfp_0$ annehmen.
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||||
Angenommen es gilt $\dim(M) > d(M)$.
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||||
Dann gibt es eine echt aufsteigende Kette von Primidealen
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||||
\begin{equation*}
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||||
\mfp_0 \subsetneq \mfp_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mfp_k
|
||||
\end{equation*}
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||||
mit $k > d(M)$.
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||||
Sei $x \in \mfp_1 \setminus \mfp_0$, dann gilt
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||||
\begin{equation*}
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||||
\dim(M / xM) \ge k - 1 > d(M) - 1.
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||||
\end{equation*}
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||||
Betrachte nun den Homomorphismus
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\begin{equation*}
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||||
\cdot x \colon M \to M,\, m \mapsto xm.
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||||
\end{equation*}
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||||
Da $\mfp_0$ prim ist, ist $M = A / \mfp_0$ ein Integritätsring und damit ist $\cdot x$ injektiv.
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||||
Somit erhalten wir folgende kurze exakte Sequenz:
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||||
\begin{equation*}
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||||
0 \to M \overset{\cdot x} \to M \to M / xM \to 0
|
||||
\end{equation*}
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||||
Nach \cref{prop:samuel-polynom-additivitaet} gilt also $d(M / xM) \le d(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
|
||||
\begin{equation*}
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||||
d(M) - 1 < \dim(M / xM) \le d(M / xM) \le d(M) - 1.
|
||||
\end{equation*}
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||||
Dies ist ein Widerspruch, also muss bereits $\dim(M) \le d(M)$ gelten.
|
||||
\end{proof}
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||||
\end{lem}
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||||
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||||
\begin{lem}
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||||
\label{lem:s-kleinergleich-dim}
|
||||
Es gilt $s(M) \le \dim(M)$.
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||||
\begin{proof}
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||||
Wir benutzen Induktion über $ n = \dim(M)$ (nach \cref{lem:dim-kleinergleich-d} wissen wir, dass $\dim(M) < \infty$ gilt).
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||||
Im Fall $n = 0$ gilt $\dim(A / \mfp) = 0$ für alle $\mfp \in \Supp(M)$.
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||||
Folglich sind alle $\mfp \in \Supp(M)$ maximale Ideale und damit ist $M$ nach \cref{lem:kriterium-fuer-endliche-laenge} von endlicher Länge. Wir erhalten also $s(M) = 0$.
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||||
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||||
Sei nun $n \ge 1$ und die Behauptung für $n - 1$ bereits gezeigt.
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Seien $\mfp_i$ die Primideale in $\Supp(M)$ mit $\dim(A / \mfp_i) = n$. Diese sind minimale Elemente von $\Supp(M)$, folglich sind es nur endlich viele (siehe {}\cite[Chapter~II. 7. Theorem~1]{serre2000local}).
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Wegen $n \ge 1$ sind sie nicht maximal und nach dem \emph{Lemma zur Vermeidung von Primidealen} können wir $x \in \mfm$ mit $x \notin \mfp_i$ für alle $i$ wählen (siehe {}\cite[Proposition~1.1.5]{roberts1998multiplicities}).
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Dann gilt offenbar $\dim(M / xM) \le \dim(M) - 1$.
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Andererseits gilt wegen der Definition von $s(M)$ auch $s(M / xM) \ge s(M) - 1$ und mit der Induktionsvoraussetzung folgt
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\begin{equation*}
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s(M) - 1 \le s(M / xM) \le \dim(M / xM) \le \dim(M) - 1.
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\end{equation*}
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Folglich gilt $s(M) \le \dim(M)$.
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\end{proof}
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\end{lem}
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\begin{thm}
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\label{thm:dim-gleich-d-gleich-s}
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Es gilt $\dim(M) = d(M) = s(M)$.
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\begin{proof}
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Dies folgt aus {}\cref{lem:d-kleinergleich-s,lem:dim-kleinergleich-d,lem:s-kleinergleich-dim}.
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\end{proof}
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\end{thm}
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\chapter{Einleitung}
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\label{cha:einleitung}
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Die Schnitmultiplizitäten aus der algebraischen Geometrie im Sinne von Pierre Samuel stimmen mit einer \enquote{Euler-Poincaré-Charakteristik} von bestimmten $\Tor$-Funktoren überein.
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Die moderne Schnitttheorie verwendet diese \enquote{$\Tor$-Formel} deswegen für die Definition des Schnittprodukts (siehe zum Besipiel {}\cite{fulton1998intersection}).
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Diese Arbeit folgt in vielen Punkten den Ausführungen von Jean-Pierre Serre in {}\cite{serre2000local}, allerdings werden etliche Resultate weggelassen, die bereits aus der kommutativen Algebra bekannt sein sollten.
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Stattdessen werden die für die $\Tor$-Formel wichtigen Resultate in größerem Detail behandelt.
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\cref{cha:hilbert-samuel-polynome} gibt einen Überblick über Samuel’s Begriff der Multiplizität eines Ideals $\mfq$ bezüglich eines endlich erzeugten Moduls $M$, das eine bestimmte Endlichkeitsbedingung erfüllt, nämlich $\length_A(M / \mfq M) < \infty$.
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Dazu werden das \emph{Hilbert-Polynom} und das \emph{Samuel-Polynom} betrachtet.
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Dies führt schließlich zum Hauptresultat der Dimensionstheorie von endlich erzeugten Moduln über lokalen noetherschen Ringen, nämlich, dass der Grad des Samuel-Polynoms bezüglich eines solchen Modul gerade der Dimension des Moduls entspricht.
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Darauf folgend führt \cref{cha:der-koszul-komplex} den \emph{Koszul-Komplex} ein.
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Ein wesentliches Resultat ist dabei, dass man die Funktoren $\Tor^A_i(A / \bmx, M)$ für einen $A$-Modul $M$ im Fall, dass $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, mit Hilfe eines bestimmten Koszul-Komplexes berechnen kann.
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Für das Hauptergebnis dieses Kapitels betrachten wir die Samuel-Multiplizität $e_\mfq(M, r)$ des Ideals $\mfq$ des noetherschen lokalen Rings $A$ bezüglich des endlich erzeugten $A$-Moduls $M$. Dabei muss $\mfq$ im Maximalideal von $A$ enthalten sein und die Endlichkeitsbedingung $\length_A(M / \mfq M) < \infty$ erfüllen.
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In diesem Fall gilt dann
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast$}\label{eq:einleitung-samuel-koszul}
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e_\mfq(M, r) = \sum_{i = 0}^r \length_A(H_i(\bmx, M)),
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\end{equation*}
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wobei die $H_i(\bmx, M)$ die Homologiemoduln des zu $M$ und $\bmx$ gehörigen Koszul-Komplexes sind.
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In \cref{cha:multiplizitaeten} soll nun die $\Tor$-Formel untersucht werden.
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Dazu werden zunächst die \emph{Gruppe der Zykel} eines Rings und die Multiplizität eines Moduls eingeführt.
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Die \emph{Reduktion auf die Diagonale} stellt für fast alle folgenden Ergebnisse ein sehr wichtiges Prinzip dar, deswegen wird sie beispielhaft im Fall affiner irreduzibler Varietäten erläutert.
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Mit ihrer Hilfe wird in diesem Fall die \enquote{Dimensionsformel} der algebraischen Geometrie gezeigt: Sind $V$ und $W$ irreduzible Untervarietäten eines affinen Raums und ist $T$ eine irreduzible Komponente von $V \cap W$, so gilt
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\begin{equation*}
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\codim(T) \le \codim(V) + \codim(W).
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\end{equation*}
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Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von formalen Potenzreihenringen über einem Körper benötigt wird, wird nun der dafür notwendige Begriff des \emph{vervollständigten Tensorprodukts} $\widehat{\otimes}$ eingeführt und die Formel für die Reduktion auf die Diagonale in diesem Fall gezeigt:
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast\ast$}\label{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen}
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\Tor^A_i(M, N) \cong \Tor^C_i(M \widehat{\otimes}_k N, A),
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\end{equation*}
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wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
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Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
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\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
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\item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
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\item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
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\item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
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\end{enumerate}
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Unter Verwendung von \emph{Cohens Struktursatz} für vollständige reguläre lokale Ringe gleicher Charakteristik kann man dieses Theorem nun auch auf den Fall verallgemeinern, dass $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik ist.
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Dies führt zu der Vermutung, dass die Aussage sogar für beliebige regulärer Ringe gültig ist.
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\cref{sec:Ausblick} gibt einen kurzen Überblick darüber, welche Resultate in diesem Zusammenhang bereits bewiesen wurden.
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Praktischerweise genügt aber der Fall regulärer Ringe gleicher Charakteristik für die Anwendung in der algebraischen Geometrie, denn is $X$ eine nicht singuläre algebraische Varietät über einem Körper $k$ und ist $W$ eine irreduzible Untervarietät von $X$, so ist der lokale Ring von $X$ bei $W$ regulär von gleicher Charakteristik.
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Seien $U$ und $V$ irreduzible Untervarietäten von $X$ und $W$ eine irreduzible Komponente von $U \cap V$, in der sich $U$ und $V$ eigentlich schneiden, das heißt
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\begin{equation*}
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\dim(U) + \dim(V) = \dim(X) + \dim(W).
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\end{equation*}
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Seien außerdem $A$, $A_U$ und $A_V$ die lokalen Ringe von $X$, $U$ und $V$ bei $W$.
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Bezeichnet $i(X, U \cdot V, W)$ die Schnittmultiplizität im Sinne von Samuel, dann gilt
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\begin{equation*}
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\tag{$\ast\ast\ast$}\label{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet}
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i(X, U \cdot V, W) = \chi^A(A_V, A_W).
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\end{equation*}
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Diese Formel wird mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-samuel-koszul} und der Reduktion auf die Diagonale bewiesen.
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Wie bereits erwähnt, wird \cref{eq:einleitung-tor-formel-schnittmultiplizitaet} in der modernen Schnittheorie sogar als Definition der Schnittmultiplizität verwendet.
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Die Eigenschaften dieser Schnittmultiplizität folgen nun auf natürliche Weise aus den Eigenschaften der $\Tor$-Funktoren.
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So folgt zum Beispiel die Kommutativität direkt aus der Symmetrie der $\Tor$-Funktoren und die Assoziativität aus der Assoziativitätsformel für $\Tor$-Funktoren, die durch zwei Spektralsequenzen gegeben ist.
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