saluu/Serres_Tor-Formel_und_Reduktion_auf_die_Diagonale
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Johannes Loher 2017-09-16 19:18:50 +02:00
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Ausarbeitung.tex
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@ -10,7 +10,6 @@
\usepackage{amssymb}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{mathtools}
%\usepackage{enumerate}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[backend=biber,style=alphabetic]{biblatex}
\bibliography{bibliography}
@ -37,7 +36,7 @@
\printbibliography
\chapter*{Eigenständigkeitserklärung}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Eigenständigkeitserklärung}
Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbständig verfasst und keine anderen Hilfsmittel als die angegebenen verwendet habe.
\vspace{1.5cm}

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chapters/chapter1.tex
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@ -40,7 +40,7 @@ Da die Reduktion auf die Diagonale im Folgenden auch im allgemeineren Fall von f
wobei $k$ ein Körper, $A$ ein formaler Potenzreihenring über $k$ und $C = A \widehat{\otimes}_k A$ ist und $M$ und $N$ endlich erzeugte $A$-Moduln sind.
Mit Hilfe von \cref{eq:einleitung-reduktion-auf-diagonale-potenzreihen} kann man für einen formalen Potenzreihenring $A$ der Dimension $n$ über einem Körper $k$ und zwei endlich erzeugte $A$-Moduln $M$ und $N$ mit $\length_A(M \otimes_k N) < \infty$ Folgendes zeigen:
\begin{enumerate}[label = (\roman*)]
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $\dim(M) + \dim(N) \le n$ (\enquote{Dimensionsformel}).
\item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) \ge 0$.
\item $\chi^A(M, N) = \sum_{i = 0}^n \length_A(\Tor^A_i(M, N)) = 0$ genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.

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chapters/chapter2.tex
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@ -11,7 +11,7 @@ Insbesondere werden wir das Hauptresultat der Dimensionstheorie endlich erzeugte
\begin{defn}[Binomialpolynom]
\label{defn:binomialpolynom}
Für $k \in \N$ definieren wir das $k$-te \textbf{Binomialpolynom} durch
Für $k \in \N$ definieren wir das \textbf{$\bm{k}$-te Binomialpolynom} durch
\begin{equation*}
Q_k(X) = \binom{X}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i = 1}^k (X - k + i) \in \Q[X].
\end{equation*}
@ -237,7 +237,7 @@ Wegen $\Supp(M) \cap V(\mfq) = \Supp(M/\mfq M)$ ist das nach \cref{lem:kriterium
\end{equation}
Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $M$, das heißt
Sei weiter $(M_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $M$, das heißt
\begin{align*}
&M = M_0 \supset M_1 \supset \ldots,\\
&M_i \supset \mfq M_{i-1},\\
@ -257,7 +257,7 @@ wohldefiniert.
\begin{proof}
Wir können $\Ann(M) = 0$ annehmen:
Sei $A' = A/\Ann(M)$ und $\mfq'$ das Bild von $q$ in $A'$.
Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung von $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
Dann ist $(M_i)$ auch eine $\mfq'$-stabile Filtrierung auf $M$ als $A'$-Modul und es gilt offensichtlich $\length_A(M/M_n) = \length_{A'}(M/M_n)$ und $\Ann_{A'}(M) = 0$.
Nach \cref{eq:elemente-in-supp} sind dann alle Elemente in $V(\mfq)$ maximale Ideale, also ist $A/\mfq$ artinsch.
Der zu $\mfq$ assozierte graduierte Ring
@ -339,7 +339,7 @@ wohldefiniert.
wobei $R \in \Q[X]$ ein Polynom vom Grad $\le \deg(P_\mfq(N)) - 1$ mit führendem Koeffizienten $\ge 0$ ist.
\begin{proof}
Sei $N_i = \mfq^i M \cap N$.
Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung von $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
Nach dem Lemma von Artin-Rees (siehe {}\cite[Lemma~5.1]{eisenbud2004commutative}) ist $(N_i)$ eine $\mfq$-stabile Filtrierung auf $N$ und wir haben für alle $n \ge 0$ eine kurze exakte Sequenz
\begin{equation*}
0 \to N / N_n \to M / \mfq^n M \to P / \mfq^n P \to 0.
\end{equation*}

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chapters/chapter3.tex
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@ -115,7 +115,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{kor}
\label{kor:tensorprodukt-koszul-komplex-azyklischer-komplex}
Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler in $M$, also $\Ann_M(x) = 0$.
Sei $M$ ein $A$-Modul, $L$ ein auf $M$ azyklischer Komplex und $x \in A$ kein Nullteiler auf $M$, also $\Ann_M(x) = 0$.
Dann ist $K(x) \otimes_A L$ ein azyklischer Komplex auf $M/xM$.
\begin{proof}
Aus \cref{prop:kuenneth-formula-fuer-koszul-komplexe} folgt:
@ -277,14 +277,14 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
\begin{defn}[Reguläre Folge]
\label{defn:regulaere-folge}
Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt $M$\textbf{-reguläre} Folge, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler in $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist.
Sei $M$ ein $A$-Modul. Eine Familie $\bmx = (x_1, \ldots, x_r)$ von Elementen aus $A$ heißt \textbf{$\bm{M}$-reguläre Folge}, falls für alle $i \in \lbrace 1, \ldots, r \rbrace$ gilt, dass $x_i$ kein Nullteiler auf $M / (x_1, \ldots ,x_{i - 1}) M$ ist.
\end{defn}
\begin{prop}
\label{prop:koszul-komplex-modul-null-bedingun}
Wenn zusätzlich zu den Voraussetzungen aus \cref{defn:koszul-komplex-modul} $\bmx$ eine $M$-reguläre Folge ist, dann gilt $H_p (\bmx, M) = 0$ für alle $p > 0$.
\begin{proof}
Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler in $M$ ist.
Für $r = 1$ ist die Behauptung war, denn $\Ann_M(x_1) = H_1(x_q,M) = 0$ bedeutet gerade, dass $x_1$ kein Nullteiler auf $M$ ist.
Sei also nun $r > 1$ und die Behauptung wahr für $r - 1$.
Es gilt
@ -293,7 +293,7 @@ Im Folgenden sei $A$ ein kommutativer Ring.
H_0(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M) &= M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M,
\end{align*}
also ist $K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)$ ein azyklischer Komplex auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$.
Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler in $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist
Nach Voraussetzung ist $x_r$ kein Nullteiler auf $M/(x_1, \ldots, x_{r - 1})M$, also ist
\begin{equation*}
K(\bmx, M) = K(x_r) \otimes_A K(x_1, \ldots, x_{r - 1}; M)
\end{equation*}
@ -437,7 +437,7 @@ Im Folgenden wollen wir die beiden ganzen Zahlen $\chi(\bmx, M)$ und $e_{\bmx}(M
\begin{equation*}
{(F^i K)}_p = \bmx^{i - p} K_p.
\end{equation*}
Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung von $K$.
Wenn wir die Komplexe $K$ und $F^i K$ jeweils als direkte Summe ihrer Komponenten $K_p$ und ${(F^i K)}_p$ betrachten, dann ist $F^i K$ eine $\bmx$-stabile Filtrierung auf $K$.
\item\label{item:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel-polynom-2} Sei $\gr(A)$ der zur $\bmx$-adischen Filtrierung auf $A$ gehörige graduierte Ring.
Es gilt $\gr_0(A) = A / \bmx$ und $\gr_1(A) = \bmx / \bmx^2$.
Mit $y_1, \ldots, y_r$ bezeichnen wir die Bilder von $x_1, \ldots, x_r$ in $\gr_1(A)$ und wir schreiben $\bmy = (y_1, \ldots, y_r)$.

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chapters/chapter4.tex
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@ -139,7 +139,7 @@ Ist $A$ ein noetherscher Ring, so bezeichnen wir im Folgenden die abelsche Kateg
\end{defn}
\begin{lem}
Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \textbf{Additivitäts-Formel}:
Ist $A$ ein noetherscher lokaler Ring mit maximalem Ideal $\mfm$ und $\mfa \subset \mfm$ ein Ideal von $A$ mit $\length_A(A / \mfa) < \infty$ und $M \in K_p(A)$, so gilt folgende \emph{Additivitäts-Formel}:
\begin{equation*}
e_\mfa(M, p) = \sum_{\substack{\mfq \in \Spec(A)\\\dim(A / \mfq) = p}} \length_{A_\mfq}(M_\mfq) e_\mfa(A / \mfq, p).
\end{equation*}
@ -298,7 +298,7 @@ Um dies zu beweisen benötigen wir mehrere Lemmata:
erzeugt wird.
\item Sind $\mfp'$ und $\mfp''$ zwei Ideale von $A$, dann ist das Bild des Ideals $\mfp' \otimes_k A + A \otimes_k \mfp''$ unter $\phi$ gleich $\mfp' + \mfp''$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{proof}\leavevmode
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item Es ist klar, dass $1 \otimes a - a \otimes 1$ für alle $a \in A$ in $\mfd$ enthalten ist.
Sei umgekehrt $\sum_{i=1}^{n}a_i \otimes b_i \in \mfd$, also $\sum_{i = 1}^n a_i b_i = 0$.
@ -443,7 +443,7 @@ Wir wollen \cref{eq:tor-koszul} im Folgenden auf vervollständigte Tensorprodukt
Wegen $\mfm^p \subset \Ann_A(M / \mfm^p M)$ und $\mfn^q \subset \Ann_B(N / \mfn^q N)$ ist $M / \mfm^p M$ ein endlich erzeugter $(A / \mfm^p)$-Modul und $N / \mfn^q N$ ein endlich erzeugter $(B / \mfn^q)$-Modul.
Demnach sind sie $k$-Moduln von endlicher Länge und wegen $M_p \supset \mfm^p M$ und $N_q \supset \mfn^q N$ sind auch $M / M_p$ und $N / N_q$ von endlicher Länge über $k$.
Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\Tor$-Funktoren} durch
Für alle $i \in \N$ bilden die Moduln $\Tor^k_i(M/M_p, N/N_q)$ ein projektives System und wir definieren die \textbf{vervollständigten $\BTor$-Funktoren} durch
\begin{equation}
\widehat{\Tor}_i^k(M, N) = \varprojlim_{(p, q)} \Tor^k_i(M / M_p, N / N_q).
\end{equation}
@ -512,7 +512,7 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\widehat{\Tor}^i_k(M, N) = 0
\end{equation*}
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{proof}\leavevmode
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item \cref{eq:vervollstaendigter-tor-nur-diagonale} gilt, da die Diagonale in $\N \times \N$ eine kofinale Teilmenge ist und die zweite Gleichung ist ebenfalls offensichtlich.
\item Sei $(M'_p)$ eine weitere $\mfm$-stabile Filtrierung auf $M$.
@ -642,9 +642,9 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
Es gilt $\gr(\mfr) \cong \gr(\mfm \otimes_k B + A \otimes_k \mfn)$ und $\gr(M \widehat{\otimes}_k N) \cong \gr(M \otimes_k N)$.
Da $A$ und $B$ noethersch sind, sind $\mfm$ und $\mfn$ endlich erzeugt, also ist auch $\mfr^n / \mfr^{n + 1}$ endlich erzeugt und damit ist $\gr(\mfr)$ ein endlich erzeugter $\gr(A \widehat{\otimes}_k B)$-Modul.
Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Folglich sind $\mfr$ und $M \widehat{\otimes}_k N$ bereits endlich erzeugt (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~2 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Da $(A / \mfm) \otimes_k (B / \mfn)$ als Tensorprodukt noetherscher Moduln noethersch ist, ist $A \widehat{\otimes}_k B$ also ebenfalls noethersch (siehe {}\cite[Chapter~II, Part~A, Corollary~3 nach Proposition~6]{serre2000local}).
Sei $x \in \mfr$, dann konvergiert $1 + x + x^2 + \cdots$ ind $\mfr$ und es gilt $1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$, das heißt für alle $x \in \mfr$ ist $1 - x \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$.
Da $\mfr$ ein Ideal ist, gilt also insbesondere auch $1 + ax \in {(A \widehat{\otimes}_k B)}^\times$ für alle $a \in A \widehat{\otimes}_k B$ und es folgt $\mfr \subset \Rad(A \widehat{\otimes}_k B)$.
@ -696,7 +696,6 @@ Wir geben nun einige Eigenschaften der soeben definierten abelschen Gruppen an:
\end{prop}
\begin{bem}
\label{bem:}
Trägt $N$ in \cref{prop:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften}~\cref{item:vervollstaendigtes-tensorprodukt-eigenschaften-M-folge} eine natürliche $A$-Modul-Struktur, so kann die $M$-Folge $\lbrace a_1, \ldots, a_r \rbrace$ auch aus Elementen aus $\Rad(A)$ bestehn.
Der Beweis bleibt in diesem Fall identisch.
\end{bem}
@ -803,7 +802,7 @@ von endlicher Länge. Nach \cref{thm:euler-poincare-charakteristik-gleich-samuel
\end{equation*}
gleich der Multiplizität $e_\mfd(M \widehat{\otimes}_k N, n)$ des $C$-Moduls $M \widehat{\otimes}_k N$ bezüglich $\mfd$.
Folglich gilt
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $\chi(M, N) \ge 0$,
\item $\dim(M) + \dim(N) = \dim(M \widehat{\otimes}_k N) \le n$,
\item $\chi(M, N) = 0$, genau dann, wenn $\dim(M) + \dim(N) < n$.
@ -824,7 +823,7 @@ Dies wollen wir nun auf \emph{reguläre Ringe gleicher Charakteristik} verallgem
Sei $A$ ein regulärer Ring gleicher Charakteristik und seien $M$ und $N$ zwei endlich erzeugte $A$-Moduln.
Sei außerdem $\mfq$ ein minimales Primideal in $\Supp(M \otimes_A N)$.
Dann gilt
\begin{enumerate}
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item $\chi_\mfq(M, N) = \sum_{i = 0}^{\dim(A)} {(-1)}^i \length_A({\Tor^A_i(M, N)}_\mfq) \ge 0$,
\item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) \le \height(\mfq)$,
\item $\dim(M_\mfq) + \dim(N_\mfq) < \height(\mfq)$ genau dann, wenn $\chi_\mfq(M, N) = 0$.
@ -881,7 +880,7 @@ und wegen $\dim(A / \mfp_U) = \dim(U) - \dim(W)$ und $\dim(A / \mfp_V) = \dim(V)
\end{equation}
Im Fall, dass in \cref{eq:dimension-intersection} Gleichheit gilt, sagen wir, dass der Schnitt \textbf{eigentlich} in $W$ ist, beziehungsweise wir sagen, dass sich $U$ und $V$ in $W$ \textbf{eigentlich schneiden}.
\begin{thm}
\begin{thm}\leavevmode
\label{thm:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet}
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item\label{item:tor-formel-gibt-schnitt-multiplizitaet-a} Falls sich $U$ und $V$ in $W$ nicht eigentlich schneiden, dann gilt $\chi^A(A / \mfp_u, A / \mfp_V) = 0$.
@ -935,8 +934,8 @@ Sind $\alpha = \sum_{i} n_i \mfp_i \in Z_a(A)$ und $\beta = \sum_{j} m_j \mfq_j
\end{proof}
\end{prop}
\begin{bem}
\begin{enumerate}
\begin{bem}\leavevmode
\begin{enumerate}[label = (\alph*)]
\item \cref{prop:schnitt-zykel} Liefert uns eine einfache Methode, um das Schnittprodukt $\alpha \cdot \beta$ zweier positiver Zykel $\alpha$ und $\beta$ der Dimensionen $a$ und $b$, die sich eigentlich schneiden, zu berechnen:
Wähle Moduln $M$ und $N$ mit $z_a(M) = \alpha$ und $z_b(N) = \beta$, sodass $M \otimes_A N$ die gewünschte Dimension hat (das ist automatisch der Fall, falls $\Supp(M) = \Supp(\alpha)$ und $\Supp(N) = \Supp(\beta)$).
Der Zykel $\alpha \cdot \beta$ ist dann einfach der \enquote{Zykel von $\Tor^A(M, N)$}.
@ -971,7 +970,7 @@ Sei also im Folgenden $X$ eine nicht singuläre affine Varietät der Dimension $
Sei dazu $M$, $M'$ und $M''$ $A$-Moduln mit $z_a(M) = z$, $z_{a'}(M') = z'$ und $z_{a''}(M'') = z''$ und $\Supp(M) = \Supp(z)$, $\Supp(M') = \Supp(z')$ und $\Supp(M'') = \Supp(z'')$.
Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für Tor-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
Nach einer \enquote{Assoziativitätsformel} für $\Tor$-Funktoren (siehe {}\cite[s. 347]{cartan1956homological}) erhalten wir die folgenden beiden Spektralsequenzen:
\begin{align}
\Tor^A_p(M, \Tor^A_q(M', M'')) &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'')\label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-erste-spektralsequenz} \\
\Tor^A_p(\Tor^A_q(M, M'), M'') &\Longrightarrow \Tor^A_{p + q}(M, M', M'') \label{eq:assoziativitaet-schnittprodukt-zweite-spektralsequenz}
@ -1057,9 +1056,9 @@ Wir haben im Verlauf dieser Arbeit hauptsächlich darauf hingearbeitet, \cref{th
Als wesentlichen Schritt dazu, haben wir \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} gezeigt.
Die Einschränkung in \cref{thm:tor-formel-regulaerer-ring-gleicher-charakteristik} auf reguläre Ringe gleicher Charakteristik wirkt allerdings etwas speziell und es ist deswegen natürlich zu vermuten, dass die Aussage dieses Theorems auch für beliebige reguläre Ringe gilt.
Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~2]{serre2000local}).
Serre selbst hat die Aussage zumindest in etwas allgemeinerer Form gezeigt, nämlich für den Fall unverzweigter regulärer Ringe ungleicher Charakteristik (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~2]{serre2000local}).
Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, B, Theorem~3]{serre2000local}).
Die zweite Aussage des Theorems, die \enquote{Dimensionsformel} wurde von Serre sogar im Fall beliebiger regulärer Ringe gezeigt (siehe {}\cite[Chapter~V, Part~B, Theorem~3]{serre2000local}).
Die erste Aussage des Theorems, die Nicht-Negativität von $\chi(M, N)$, wurde im Fall beliebiger regulärer Ringe 1996 von Ofer Gabber gezeigt (siehe {}\cite{roberts1998recent}).
Der Beweis ist tatsächlich relativ kompliziert und verwendet Methoden der algebraischen Geometrie wie die Auflösung von Singularitäten.

7
custom_commands.tex
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@ -20,9 +20,10 @@
\newcommand{\mcZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\bmi}{\bm{i}}
\newcommand{\bmx}{\bm{x}}
\newcommand{\bmy}{\bm{y}}
\newcommand{\bmX}{\bm{X}}
%\newcommand{\bmx}{\text{\ttfamily\bfseries\upshape{}x}}
\newcommand{\bmx}{\bm{\mathrm{x}}}
\newcommand{\bmy}{\bm{\mathrm{y}}}
\newcommand{\bmX}{\bm{\mathrm{X}}}
\newcommand{\mcM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\mcN}{\mathcal{N}}

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title.tex
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@ -1,18 +1,19 @@
\begin{titlepage}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\\[1cm]
\textsc{\LARGE Universität Regensburg}\\[0.5cm]
\textsc{\Large Fakultät für Mathematik}\\[1.5cm]
{ \huge \bfseries Serres Tor-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\\[1.5cm]
{\LARGE Masterarbeit}\\[1cm]
{\Large von}\\[0.2cm]
{\LARGE \bfseries Johannes Loher}\\[0.2cm]
{\large (Matrikelnummer 1 576 123)}\\[1.5cm]
\begin{tabular}{lr}
\large Betreuer: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
\large Gutachter: & \large Prof.~Dr.~Moritz Kerz
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{./LOGO_UR}\par\vspace{1cm}
\textsc{\LARGE{}Universität Regensburg}\par\vspace{0.5cm}
\textsc{\Large{}Fakultät für Mathematik}\par\vspace{1cm}
\begin{huge}
\textbf{Serres $\BTor$-Formel und Reduktion auf die Diagonale}\par
\end{huge}\vspace{1cm}
{\LARGE{}Masterarbeit}\par\vspace{0.5cm}
{\Large{}von}\par
{\LARGE\bfseries{}Johannes Loher}\par
{\large{}(Matrikelnummer 1 576 123)}\par\vspace{1cm}
\begin{tabular}{ll}
\large{}Betreuer: & \large{}Prof.~Dr.~Moritz Kerz\\
\end{tabular}
\vfill
{\large \today}
{\large{}\today}
\end{center}
\end{titlepage}